Главная страница
qrcode

билеты математика. 1. Понятия высказывания и предиката. Высказыванием


Название1. Понятия высказывания и предиката. Высказыванием
Дата06.10.2019
Размер360 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлабилеты математика.doc
ТипДокументы
#108759
Каталог

1. Понятия высказывания и предиката. Высказыванием называется любое повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Обозначают высказывание большими лат. Буквами: А: «……»

Высказывание может быть истинным:

А= «и» А=1-истинно

И ложным:

А= «л» А=0-ложное

Пример:

1.А: «2×2=4» А=1

2.В: «3≥5» В=0

Часть математики, которая изучает высказывания и операции над ними, называется алгеброй высказываний или математической логикой.

В алгебре высказываний, все высказывания, имеющие одинаковое значение истинности попадают в один класс. Два высказывания А и В будут называться равносильными и эквивалентными если их значение истинности равно. А≡В В алгебре высказываний выделяют элементарные и составные связки. Составные высказывания образуются их элементарных с помощью слов-связок: «и; или; если то; тогда и только тогда ,когда; частичка не; не верно что.

А1: «число 21-нечетное», А1=1

А2: «число 21-кратно 3», А2=1

А3: «число 21 –нечетное и кратно 2», А3=1

21-нечетное число и 21-кратно 3.

Каждая логическая связка определяет некую операцию над высказыванием. Предикатом называют предложение с одной или несколькими переменными, образующимся о высказывании всякий раз, при подстановке мест переменных их значения. В зависимости от члена переменных различают:одноместные,двуместные и т.д

Обозначаются большими лат. Буквами с указанием в скобках переменных. А(х). Множество всех значений, входящих в предикат переменных называют областью определения предикатов. Множество истинности предиката называют множество тех значений переменных из области определения предиката, при подстановки которых предикат обращается в истинное высказывание.Х-Область определения предиката

Т-множество истинности. Множество истинности предиката является всегда подмножеством области определения предикатов.

3. Конъюнкция высказываний. Свойства операции конъюнкции. Высказывание в математике – предложение, относительно которого имеет смысл вопрос истинно оно или ложно. Коньюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ^ В , которое истинно, когда оба высказывания истины, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. (логическое умножение).
А
В
А ^ В
и
и
И
и
л
л
л
и
л
л
л
Л
а^ в следует(стрелочка) а а^в следует (стрелочка) в

а стрелочка (в стрелочка( а^ в))

С точки зрения теории множеств, конъюнкция аналогична операции пересечения. Пример. «Число 28 делится на 7 и на 9». 1 высказывание состоит из 2 элементарных высказываний и соединено союзом «И», т.к. 1 выск. Истинно, а 2 ложно, то согласно определению коньюнкции высказывание «Число 28 делится на 7 и на 9» ложно.

4. Конъюнкция предикатов. Свойства операции конъюнкции. Конъюнкцией высказываний А и В называют новое высказывание (А и В), которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны и ложны во всех остальных случаях

«А и В» «А^В»
А
В
А^В
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0

Конъюнкция = логическое умножение. Пример: А^В : «Число 21 нечетное и кратное трём». А^В = 1 Конъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат А(x)^В(x), который принимает значения истины при тех и только тех значениях x при которых каждый из предикатов принимает значение истины и принимает ложное значение во всех остальных случаях. Областью истинности предиката А(x)^В(x) является пересечение областей истинности предикатов А и В. Свойства:
A^B = B^A (A^B) ^C = A^ (B^C) A^A = A
A^ (B v C) = A^B v A^C
З
5. Дизъюнкции высказываний. Свойства операции дизъюнкции. Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно. В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В. Если два высказывания соединены союзом "ИЛИ", то полученное сложное высказывание истинно когда истинно хотя бы одно из составляющих высказываний. 

6. Дизъюнкция предикатов. Свойства операции дизъюнкции. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) Называется новый предикат Р(х)vQ(х), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х€М, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь», и значение «истина» во всех остальных случаях.
7. Отрицание высказываний. Свойства операции отрицания. Отрица́ние в логике —операция над суждениями, результатом которой является суждение (в известном смысле) «противоположное» исходному. Обозначается знаком ¬ перед или чертой -- над суждением. Синоним: логическое "НЕ". Как в классической, так и в интуиционистской логике «двойное отрицание» ¬¬A является следствием суждения A, то есть имеет место тавтология: . Отрицанием высказывания А называется новое высказывание «неверно. Что А…» или «не А..», которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.
8. Отрицание предикатов. Свойство операции отрицания. 1. Операция отрицания. Отрицанием предиката Р(х), заданного на множестве Х, называется предикат х
Х, при которых предикат Р(х) принимает значение лжи. 

Пример 12. Отрицанием одноместного предиката « х 3 » , определенного на множестве R , является одноместный предикат « х > 3 » , определенный на том же множестве R . 
Пример 13. Отрицанием предиката «Река х впадает в озеро Байкал» является предикат «Река х не впадает в озеро Байкал» (оба одноместных предиката определены на множестве названий рек). 
10. Импликация высказываний. Свойства операции импликации. Логическое следование или Импликация. «Если А (условие), то В (заключение)».
Высказыанием А и В называется новое высказывание, которое читается «если А, то В», которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно, а истинно во всех остальных случаях.


А
В
А-В
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1


Пример. Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Требуется записать его в виде логической формулы. Обозначим через А простое высказывание «выглянет солнце», а через В - «станет тепло». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A -> B.
11. Эквиваленция высказываний. Свойства операции эквиваленции.

Эквиваленцией двух высказываний А и В называют новое высказывание, которое читается «А тогда и только тогда, когда В», которое истинно, когда совпадают значения истинности высказываний А и В.

Например:

А: погода ясная.

В: на небе солнце.

Погода ясная тогда и только тогда, когда на небе солнце.

Задаётся следующей таблицей истинности:
 A 
 B 
 A ≡ B 
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
9. Импликация предикатов. Свойства операции импликации. Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…». Импликация записывается как посылка → следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие). Cуждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами: Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия; Следствие является условием, необходимым для истинности посылки. Переменные могут принимать значения из множества {0,1} . Результат также принадлежит множеству {0,1}. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0, 1 может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false, true или F, T или "ложь", "истина". Правило: результат равен 1, если все операнды равны 1; во всех остальных случаях результат равен 0. Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b)
a
b
ab
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает. обратная импликация (от b к a)
a
b
ab
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
Oбратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента) отрицание (инверсия, негация) обратной импликации
a
b
¬(ab)
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0


12. Эквиваленция предикатов. Свойства операции эквиваленции. Эквиваленция - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.( логическая равнозначность)
А
В
А (стрелочка в две стороны) В
и
и
И
и
л
л
л
и
л
л
л
и
Таким образом, высказывание A ≡ B означает «A то же самое, что B», «A эквивалентно B», «A тогда и только тогда, когда B».


15. Проверка правильности суждений.

1.
В(х)-целое число А(х)=»В(х),В(5)/А(5) Не совпадает не с одним из правил ,возможно оно не является правильным. 2.
13. Отношение логического следования предикатов. Е
Пример: х
1)А(х): «
В(х): «х(х-2)(х+3)=0»

А

Х(х-2)=0 / х=0 х=2 х= -3

Х=0 х=2

Та = {0,2} Тв = {0,2,-3}


х
C(х): «х
Д(х): «х 
C
Д(х)

14. Правила построения правильных дедуктивных рассуждений.

Выделяют след. формы правильных умозаключений(правила вывода): 1.Правило заключения: А(х)=»В(х),А(а)/В(а)

2.Правило отрицания: А(х)=»В(х),В͞(а)/А͞(а)

3.Правило силлологизма: А(х)=»В(х),В(х)=С(х)/А(х)=»С(х)

Схемы неправильных умозаключений.

А(х)=»В(х),В(а)/А(х)

А(х)=»В(х),А͞(х)/В͞(а)

Пример: Противоположные стороны параллелограмма равны . АВСD- п/л=»АВ=СD

А(х)=»В(х); А(х): «четырехугольник –п/л»

В(х): «В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны». А(х)=»В(х),А(а)/В(а) –правильное умозаключение.

Все отличники 3 класса –спортсмены, Вася-не отличник ,Вася не спортсмен. Если ученик 3 класса отличник,то ученик-спортсмен.

А͞(х): «х-отличник»; В͞(х): «х-спортсмен»

А(х)=»В(х); А(а): «Вася не отличник»

В(а): «Вася не спортсмен»; А(х)=»В(х),А͞(а)/В͞(а)- неправильное умозаключение.

2. Высказывания с кванторами. Слова, которые превращают высказывательную форму в высказывание, называются кванторами. Пример:
простое число х нечетно. х нечетно (0). х, которое нечётно (1). Р(х): «Простое число х нечетное» - предикат. х 2. Связать переменную с помощью квантора. Всякое- квантор общности. Существует- квантор существования. Высказывание, полученное из предиката Р(х) при помощи квантора общности обозначается (∀х ∈ Х) Р(х). Читается: 1) для любого (каждого, всех) значения х из множества х имеет место (выполняется) Р(х).х из множества х большое обладает свойством Р (х). Это высказывание истинно тогда и только тогда, когда для всех значений переменной х из х при их подстановке мы получаем истинное высказывание и данное высказывание ложно, если найдется хотя бы одно значение х , при котором предикат Р(х) превращается в ложное высказывание. Для доказательства ложности предиката с квантором общности, достаточно привести контрпример. Для док-ва истинности есть 2 способа:
Если мно-во х конечно, перебрать все возможные вар-ты
  • Если мно-во х бесконечно, то тогда приводится док-во в общем виде.
    Пример: Р(х) : «х2 > 0» или (∀х ∈ Х) (х2 > 0)
    Х-мно-во N чисел {1,2,3,4…}
  • Хстрелка вправо 652 > 0)=0 , при х=0

    Всякое целое число отрицательно .(∀х ∈ Х) Р(х). (∀х ∈ Х) х<0 =0

    Р (х): «целое число отрицательное» « х ∈Z , x<0»

    Высказывание ,полученное из предиката Р(х) при помощи квантора существования обозначается (2 = 3) Существует натуральное х, что выполняется (х2 = 3). отя бы для одного натурального Х, выполняется (х2 = 3) (2 = 3) Вывод: х) Р(х) = P (х
    Для того,чтобы получить высказывание многоместного предиката необходимо связать кванторами каждую переменную.

    Пример: М (х,у) (∀х ∈ х) М (х,у)

    (∀х ∈ х) (
    (∀х ∈ х) (
    (∀х ∈ Х) (

  • перейти в каталог файлов


    связь с админом