Главная страница

математика_теория_вероятности_шпаргалка. 1. Случайные события и действия над ними. Виды случайных событий. Комбинации событий Пространство элементарных событий


Скачать 311,95 Kb.
Название1. Случайные события и действия над ними. Виды случайных событий. Комбинации событий Пространство элементарных событий
Анкорматематика_теория_вероятности_шпаргалка.docx
Дата24.09.2017
Размер311,95 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файламатематика_теория_вероятности_шпаргалка.docx
ТипДокументы
#34479
страница1 из 5
Каталогsalomatinamarina

С этим файлом связано 62 файл(ов). Среди них: MA_SPETsIF_2015_profilny.pdf, C2-2011.pdf, MA_KES_2015.pdf, Metod_intervalov_Trenirovochnye_zadachi.pdf, Reshenie_S2_koordinatnym_i_vektornym_metodom.pdf, v3.pdf, 9.pdf, Geometria_Tematich_kontrol_7-9kl__Dokazatelstva_2013_-64s.pdf, Metod_intervalov.pdf и ещё 52 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5

1.Случайные события и действия над ними. Виды случайных событий. Комбинации событий Пространство элементарных событий.

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, напри-мер, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к по-ловине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из дан-ного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания прибли-жается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение 3 очков.

Алгебра событий.

1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В (рис. 1).

2. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам, благоприятным А и В.

3. Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Введем еще несколько категорий событий.

4. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.

Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятных несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.

Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является невозможным событием.

5. Говорят, что события А1, А2,…,Апобразуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовмест-ны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называют элементарными событиями.

6. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

2.Основные формулы комбинаторики. Вероятность событий. Свойства Вероятностей. Геометрические вероятности.

При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации.

1. Перестановки– это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Рп = п!

2.Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений



3.Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний



Вероятность событий

При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Например, при последовательном извлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных мастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно чередование гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей.

Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является аксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы вычисления этой величины.

Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,

а) попарно несовместны;

б) равновозможны;

в) образуют полную группу,

то говорят, что имеет место схема случаев.

Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их число равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событие А (число благоприятных исходов).

Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

- классическое определение вероятности.

Свойства вероятности.

Из определения 1.8 вытекают следующие свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,

Р(А) = 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благопри-ятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.

Геометрическая вероятность

Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно воспользоваться понятием геометрической вероятности.

Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка Lне зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошен-ная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:

(2.1)

где l– длина отрезкаl, а L– длина отрезка L.Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:

(2.1`)

где sплощадь части области, аS– площадь всей области.

В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его частьv, задается формулой:

(2.1``)

где v– объем части тела, аV– объем всего тела.
3.Теоремы теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Полная группа событий. Противоположные события.

Теорема1. (теорема сложения). Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна

Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ). (2.2)

Доказательство.

Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, тА – число исходов, благоприятных событию А, тВчисло исходов, благопри-ятных событию В, а тАВчисло исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно тА + тВ – тАВ(так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле (1.1):



что и требовалось доказать.

Теорему1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С

Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)
Теорема 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

р(А) + р() = 1. Доказательство.

Так как А и образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в результате опыта, то есть событие А + является достоверным. Следовательно,

Р( А +) = 1. Но, так как А и несовместны, из (2.4) следует, что Р(А +) = р(А) + р(). Значит, р(А) + р() = 1, что и требовалось доказать.

Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5).

Теорема сложения если 2 события не совместимы

Следствие 2.Если события А и В несовместны, то тАВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А + В) = р(А) + р(В).

Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать .

Замечание. Таким образом, заключается в том, что событие А не произошло.

4. Теорема умножения вероятностей. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.

Назовем условной вероятностью р(В/А) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло.

Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.

(теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

р (АВ) = р (А) · р (В/А). (2.6)

Доказательство.

Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством возможных исходов нужно считать тА(так как А произошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В ( тАВ). Следовательно,



откуда следует утверждение теоремы.

Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно,

р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В). (2.7)

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).

Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7) следует при этом, что р (А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство независимости событий взаимно.

Теорема умножения для независимых событий имеет вид:

р (АВ) = р (А) · р (В) ,

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероят-ностей.

При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.

Вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема.Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий

А1, А2,…, Ап равна р (А) = 1 – q1q2qn , (2.9)

где qiвероятность события , противоположного событию Аi .

Доказательство.

Если событие А заключается в появлении хотя бы одного события из А1, А2,…, Ап, то события А и противоположны, поэтому по теореме 2.2 сумма их вероятностей равна 1. Кроме того, поскольку А1, А2,…, Ап независимы, то независимы и , следовательно, р() = . Отсюда следует справедливость формулы (2.9).
5. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Бейеса.

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1, Н2,…, Нп называются гипотезами.

Теорема . Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна:

(3.1)

где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, аp(A/Hi) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство.

Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН1, АН2,…, АНп. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что



что и требовалось доказать.

Формула Байеса (теорема гипотез)

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н3/А) = 0. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

(3.2)

Действительно, из (2.7) получим, что откуда следует справедливость формулы (3.2).
  1   2   3   4   5

перейти в каталог файлов
связь с админом