Главная страница

Габышев_Составление. Д. Н. Габышев составление типовых алгебраических заданий в школе тюмень, 2012 2 удк 372. 851


Скачать 0.57 Mb.
НазваниеД. Н. Габышев составление типовых алгебраических заданий в школе тюмень, 2012 2 удк 372. 851
АнкорГабышев_Составление.pdf
Дата12.03.2017
Размер0.57 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаGabyshev_Sostavlenie.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#26951
страница1 из 5
Каталогid26795650

С этим файлом связано 7 файл(ов). Среди них: Gabyshev_Sostavlenie.pdf, Яд_партийности.doc, Sv-vo_ocheredi_operatorov.pdf, Gabyshev_Iskusstvo.pdf, 02_02_2012.pdf, Gedelevskaya_analogia_v_fizike_23_01_2012.pdf, referat_po_filosofii.pdf.
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5

Д. Н. Габышев
СОСТАВЛЕНИЕ ТИПОВЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ЗАДАНИЙ В ШКОЛЕ
Тюмень, 2012

2
УДК 372.851
Габышев Д. Н. Составление типовых алгебраических заданий в школе: учебное пособие. Тюмень, 2012.
В книге предлагаются возможные способы составления типовых школьных алгебраических задач на примере трёх тем: «Уравнения»,
«Производная» и «Интеграл». Разобрано около пятидесяти примеров.
РЕЦЕНЗЕНТ:
Иванова Л. К., учитель математики гимназии ТюмГУ, член комиссии департамента образования и науки Тюменской области по проверке экзаменационных работ по математике в формате ЕГЭ;
Совертков П. И., к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики СурГУ.
© Габышев Д. Н., 2012.

3
Введение.
Книга посвящена составлению типовых алгебраических заданий в школе, поэтому все вопросы, рассматриваемые в ней, не требуют знаний больше школьного курса алгебры и начал анализа. Она явилась результатом практического применения общей теории составления задач, изучаемой автором на протяжении последних нескольких лет.
Тематика книги будет интересна учащимся школ, студентам педагогических специальностей и молодым учителям математики, которым нередко приходится придумывать собственные задания для различных нужд: контрольных, самостоятельных и проверочных работ, домашних заданий. Соответственно, предлагаемые здесь идеи в значительной мере упростят создание задач различной степени трудности.
Книга разделена на три главы, каждая из которых, в свою очередь, поделена на параграфы. В тексте параграфов имеются различные примеры, поясняющие теоретическую информацию и помогающие лучше воспринять её.
► Каждый пример заключён между маленьких чёрных треугольников. ◄
В некоторых случаях читателю предлагаются полезные задания для самостоятельной работы, закрепляющие приобретённые сведения.
Книга не охватывает весь спектр школьных заданий по алгебре, а лишь является выборкой основных тем учебного курса, наиболее удобных для изложения методов конструирования задач и имеющих наиболее важное применение в науке. Полученные в ходе прочтения знания читатель может транзитивно переносить и на другие

4 разделы алгебры, так как все они, так или иначе, взаимосвязаны, а также может разрабатывать собственные частные методы для этих разделов и, тем самым, обогащать свой опыт как составителя.
В рамках данного труда понятия "метод", "способ",
"приём" рассматриваются как синонимичные, поэтому границы между ними, в зависимости от контекста, практически стёрты или слабо выражены. То же самое относится и к понятиям "задача", "задание", "пример",
"вопрос", которые часто будут использоваться как взаимозаменяемые.
Для тех, кто заинтересован в составлении творческих и олимпиадных задач, будет небезынтересна книга автора
[1], в которой описываются общие методы создания задач.

5
Глава 1. Уравнения.
§1. Линейная зависимость и соответствующие ей уравнения.
Начнём, пожалуй, с наиболее простого вопроса — линейных уравнений. Однако, там, где кажется легко, я могу упустить важные аспекты, и тогда читатель, более подкованный, чем его покорный слуга, схватит последнего за шиворот и попытается выбросить со своей книжной полки. Поэтому, дабы избежать сей забавной оказии, вспомним некоторые основные положения, необходимые нам и касающиеся линейных функций.
Наиболее просто линейная функция
y от переменной x задаётся в виде:
b
kx
y


, где k — число, называемое угловым коэффициентом, b — константа, численно равная значению функции в нуле.
Графиком этой функции является бесконечная прямая на плоскости. Начертить его можно, зная любые две его точки и проведя через них сплошную прямую линию.
Размеры бумаги ограничены, поэтому начертить в тетради физически можно лишь конечную часть графика, актуальную для учащегося.
Другой способ записи линейной зависимости
0



C
By
Ax
называется в аналитической геометрии просто уравнением прямой, где A, B, C — вещественные константы. Делением на –C мы получаем уравнение прямой в отрезках:

6 1




B
C
y
A
C
x
или, после переобозначения,
1


b
y
a
x
Такое название, как вы знаете, уравнение имеет, потому что его график отсекает от оси абсцисс и оси ординат отрезки величиной, соответственно, a и b, отсчитываемой от нуля.
Три формы записи линейной зависимости должны помочь нам с вами составить некоторое количество простых заданий. И так будет всегда — знание основных законов, правил, теории, а также морфологии (структуры) уравнений и функций послужит хорошим подспорьем в ремесле составителя задач.
Садясь за обеденный стол в незнакомом месте, мы стремимся продемонстрировать знания этикета и свои хорошие манеры (лишь в редких случаях мы поступаем наоборот с целью создания комического эффекта). Мы не зеваем на скучных докладах, не рисуем на стенах в подъезде, не говорим громко в читальном зале библиотеки
— по жизни нам нужно следовать многим правилам в зависимости от обстановки и рода выполняемой в настоящий момент деятельности. Так же и в составлении задач мы можем обнаружить некоторые правила, обыкновенно негласные, чаще носящие эстетический характер.
► Самый простой пример: интересно ли учащемуся находить корень уравнения
0 805488
,
3 3674
,
1 2753
,
1



x
x
?
Между тем, уравнения
0 265 37
,
1 28
,
1



x
x
и
0 27 4
,
1 3
,
1



x
x

7 смотрятся более прилично, и решать их легче, вникая в суть дела без лишней вычислительной трудности.
Однако если к первому уравнению предпослать задание предварительно округлить коэффициенты уравнения до одной или двух значащих цифр, то в целом задача уже обретёт ценность. ◄
Задания должны быть весьма показательны, наглядны. Нечёткие понятия, правда? Показательное для одного когнитивного элемента покажется бессмысленным для другого. Но есть, если можно так выразиться, каноны, с которыми согласится большинство. Например, во всех заданиях, подразумевающих отсутствие калькулятора, корни уравнений обязаны быть:
 целыми числами,
 рациональными числами с малыми знаменателями и довольно невеликими числителями,
 десятичными числами с небольшим количеством цифр (одна–две) после запятой,
 или же иррациональными числами, которые можно найти конечным числом операций сложения/вычитания, умножения/деления и взятия арифметического корня (относится, в основном, к комплексным решениям).
К исходным же данным предъявляются ещё более строгие требования — коэффициенты уравнений не должны быть иррациональными, если они не дают удобного решения и красивых корней. Скучны задания, в которых приходиться оперировать цифрами с десятью знаками после запятой.
► Посмотрим на нарушения правила:
0 3103689446
,
4 3


x
,
0 27491 21


x
,
0 1
11


x
Сравните с «правильными» уравнениями:

8 0
12 3


x
,
0 672 21


x
,
0 26 39


x
,
0 6
2


x
,
0 147 3


x
. ◄
Стратегически важно блюсти правила математического синтаксиса, последовательности выполнения операций в выражениях.
► Не оговаривая заранее, трудно понять, что имел ввиду автор, записывая log
2 3∙5. Толи 5∙log
2 3, толи, на самом деле, log
2
(3∙5). Смысл записи ещё можно было бы понять из контекста, но если в тексте встречаются все три вида записи, то они, как минимум, затрудняют и замедляют понимание читаемого. ◄
Существуют правила, связанные со стилевым своеобразием самого жанра задач, с воспитательными целями составителя, с развитием логики и здравомыслия решающего. Подробнее останавливаться на данных важных вопросах я не стану в силу несколько иной тематики книги, но порекомендую вам найти и прочитать статью академика И. В. Арнольда «Принципы отбора и составления арифметических задач», рассказывающую о них подробно.
Поскольку мы знаем, что графики линейных функций пересекают ось абсцисс только в одной точке, то мы делаем вывод, что всякое линейное уравнение имеет не более одного корня (отбросим уравнения типа «5=5», которые справедливы при любых x и в строгом смысле являются тождествами). При благоприятных условиях корень существует и легко отыскивается.
Поскольку же собственный корень линейного уравнения существует всегда, за исключением случаев типа y=const или «1=0», то будем составлять эти уравнения произвольным подбором констант A, C, или a, или k и b в

9 рассмотренных ранее уравнениях прямых, приравнивая ординату y к нулю.
► Сделаем в наших уравнениях только целые коэффициенты, а решения найдутся и будут, как минимум, рациональными:
0 7
5


x
,
0 9
3


x
,
0 1
7


x
. ◄
Составленное линейное уравнение может требовать своего упрощения с помощью простых действий и арифметических операций:
 сложения,
 умножения,
 приведения дробей к одному знаменателю,
 перенесения части уравнения через знак равенства.
Получать такие уравнения можно или с помощью соответствующих обратных действий из уравнения с известным решением или, вообще не задумываясь о конечном ответе и полагаясь лишь на его существование.
► Зная, что конечное решение существует, запишем уравнения, придумав цифры в них случайным образом:
1 3
4 11 7




x
x
,
x
x
x
6 1
4 3
12 8





,
0 4
7 2
3 1




x
x
,
3 7
5 1
3 1
5 5
2 3






x
x
x
,
2 7
11 3
5 9
2 3
4






x
x
x
Решающему для решения придется произвести выше оговоренные операции. Потренируйтесь в изменении цифр

10 в этих примерах. Попытайтесь сделать так, чтобы корни иногда отсутствовали.
Отмечу, что в последнем примере я сначала пробовал прибавлять не двойку, а десятку и единицу. В первом случае ответ получался 193/4, а во втором 599/32.
Естественно, я отбросил эти варианты как не удачные.
Повезло только на третий раз — с двойкой. ◄
Уравнение прямой в отрезках неизбежно должно наводить на мысль о следующей алгебраической задаче.
► Найти площадь треугольника, ограниченного прямой
1


b
y
a
x
и осями координат. Задача имеет простое решение:
b
a
S
2 1

, поскольку треугольник является прямоугольным. ◄
Упоминание целых чисел отправляет нас во времена
Диофанта, когда целочисленным решениям уделялось особое внимание.
► Пусть мы хотим поручить отыскание положительных целых чисел, удовлетворяющих некоторой линейной зависимости. Для того чтобы множество решений было непустым и конечным, можно воспользоваться уравнением в отрезках с положительными коэффициентами. Выбор произвольных отрезков не особо эффективен. Так допустим, что отсекаются отрезки 3 и 9:
1 9
3


y
x
Положительная область, охватываемая графиком, очевидно, достаточно велика, чтобы содержать целочисленные решения, но нам самим придётся их отыскивать, фактически не экономя время и повторяя действия учащегося, пусть это и не трудно. В других

11 случаях может оказаться, что решений, удовлетворяющих условию, нет, что для диофантовых уравнений является неинтересной ситуацией.
Задействуем эвристику в нашей поисковой задаче (а составление заданий, как оказывается, есть один из видов поисковых задач). Можно задать не отрезки, а две точки, однозначно определяющие прямую. Более того, сами точки могут являться решениями. А по двум заданным точкам можно восстановить уравнение (попробуйте вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки самостоятельно, без учебника аналитической геометрии).
К примеру, две точки (1; 4) и (2; 2) являются единственными положительными целочисленными решениями уравнения
1 6
3


y
x
или
0 6
2


y
x
Среди точек (0; 2) и (3; 1) только вторая удовлетворяет условию задачи для уравнения
1 2
6


y
x
или
0 6
3


y
x
Чтобы не попасть впросак, отсекая от осей координат нецелые отрезки, надо выбрать, как мне видится, одно из трёх:
1). От некрасивых коэффициентов уравнения в отрезках избавиться приведением к единому знаменателю.
Так, мы выбираем точки (2; 1) и (1; 3), а через них проходит график не вполне благовидного уравнения
1 5
2 5


y
x
Но оно очень хорошо смотрится после приведения к известной форме:
0 5
2


y
x

12 2). Воспользоваться вспомогательным рисунком на разлинованном в клеточку листе бумаги. Тогда будет нетрудно отсекать целые отрезки от координатных осей и визуально обнаруживать требуемые решения.
3). Выразить величину коэффициентов уравнения в отрезках из выведенного вами уравнения прямой, проходящей через две точки. Подставляя вымышленные координаты точек, вы будете видеть, каковы отсекаемые отрезки, но здесь, в отличие от предыдущего совета, мы не уверены в количестве решений, придётся проверять, есть ли ещё какие-нибудь.
Попробуйте в литературе найти по теме целочисленных решений соответствующие задачи, например, о грузоперевозках или взвешиваниях.
Видоизмените цифры в найденных задачах. Кроме поиска решений как таковых учащимся можно поручить нахождение количества возможных целочисленных решений. ◄
Отметим, что поиск уравнения прямой по двум конкретным заданным точкам для учащихся является хорошим самостоятельным заданием, подводящим их к обнаружению общей алгебраической формулы соответствующего уравнения прямой.
§2. Двухдневный этюд о квадратных уравнениях.
Стиль изложения этого параграфа отличается от стиля остальной части книги и представляет собой конспект гипотетического урока по квадратным уравнениям. В ходе занятия учитель отсылает учащихся к историческим фактам, учит составлять и одновременно решать эти уравнения. В конце конспект сопровождается кратким резюме.
Раньше, в дореволюционной
России, писали
«Квадратныя уравнения» вместо привычного нам

13
«Квадратные уравнения». Сам я изучал квадратные уравнения в восьмом классе, а это тогда шёл 2004 год, мне было 13 лет, хотя решать их я научился примерно годом ранее, читая в летние каникулы решебник для учебника алгебры. В школе вообще есть (надеюсь, и сейчас существует) приятная традиция — выдавать учащимся учебники в начале лета, чтобы можно было их в свободное время поглядеть, отрывочно почитать, осмыслить, сложить общую картину в голове о том, что будет изучаться в наступающем учебном году. В университете такой традиции нет, хотя её следовало бы ввести.
Предмет квадратных уравнений известен давно, как я помню, не меньше тысячи лет. Стало быть, всё позднее средневековье, новое и новейшее время прошли под знаком квадратных уравнений. Изучали квадратные уравнения и все наши императоры — от Петра Великого до Николая II (с последним я имел честь жить в одном веке — в двадцатом), ибо им это было необходимо, в первую очередь, в военных науках.
Квадратные уравнения очень важны в науке и технике, ибо являют собой квадратичную зависимость, встречающуюся, пожалуй, столь же часто, как и линейная.
И чтобы слово у нас перешло в дело, совместно набросаем простейший пример.
Длина прямоугольного земельного участка на десять метров больше его ширины. Известно, что площадь участка равна 200 квадратным метрам. Какова же ширина участка?

14
Оказывается, задачу можно решить, причем, как в дальнейшем обнаружится, легко. Обозначим ширину за x, тогда длина равна x+10. Площадь участка равна, как общеизвестно, произведению ширины и длины. В нашем случае по условию задачи это произведение равно
200 кв. м. Можно записать:


200 10 

x
x
,
Или, раскрывая скобки,
200 10 2


x
x
Число 200 из правой части перенесём в левую, изменив его знак на противоположный:
0 200 10 2



x
x
Ещё пятьсот лет назад такой перенос считался недопустимой лихостью. Так, уравнения
200 10 2


x
x
и
0 200 10 2



x
x
почитались различными, хотя ныне мы знаем, что в математическом смысле они эквивалентны.
Что и говорить — тогда был исход средневековья, тёмных веков для науки.
Мы получили ни что иное, как квадратное уравнение.
Можно попробовать найти его решения, называемые корнями, подбором. Подставляя наугад некоторые целые числа, можно обнаружить, что решением является число
S=200 кв. м
.
x+10
x

15 10. Действительно, участок с такой шириной отвечает условию задачи. Но единственное ли это решение уравнения? Интуиция подсказывает, что метод подбора в нашем случае не универсален. А вдруг возможны дробные решения? Очевидно, в этом случае подбор невозможен, но даже если все решения и целочисленные, то просто- напросто подбор грозит недосказанностью решения, даже необоснованностью. Нужен точный метод.
И оказывается, такой метод существует! Зададим самое общее квадратное уравнение в том виде, в котором оно будет встречаться вам очень и очень часто:
0 2



c
bx
ax
, где a, b, c — некоторые числа, причём a≠0, ибо в противном случае уравнение было бы линейным.
Вычислим вспомогательную величину, называемую
дискриминантом:
ac
b
D
4 2


Если дискриминант получается неотрицательным, т.е. либо положительным, либо равным нулю, то корней у квадратного уравнения два и вычисляются они по формулам:
a
D
b
x
2 1



,
a
D
b
x
2 2



, или записывают коротко
a
D
b
x
2 2
,
1



Если дискриминант равен нулю, то понятно, что первый корень совпадает со вторым. Давайте убедимся, что эти корни удовлетворяют исходному уравнению:
0 2
,
1 2
2
,
1



c
bx
ax
,
0 2
2 2















c
a
D
b
b
a
D
b
a
,

16
Раскрываем скобки
0 2
4 2
2 2






c
a
D
b
b
a
D
D
b
b
a

,
0 2
2 4
2 4
2 2





c
a
D
b
a
b
a
D
a
D
b
a
b

,
За счёт взаимоуничтожения величин выражение частично упрощается
0 4
4 2



c
a
b
a
D
,
Подставим выражение для дискриминанта
0 4
4 4
2 2




c
a
b
a
ac
b
и убеждаемся, что левая часть равенства обращается в нуль
0 = 0.
Таким образом, если введённый нами дискриминант либо положителен, либо равен нулю, то у квадратного уравнения имеется различных, соответственно, либо два, либо один корень, вычислимые по теперь уже известным вам формулам. Но, наверное, вы невольно задаётесь вопросом, что будет, если дискриминант окажется отрицательным?
Ответ: увы, уравнение не имеет действительных решений, т.е. левая часть уравнения не обращается в нуль ни при каком значении x. Однако, математики научились выходить из этой щекотливой ситуации, хотя и весьма искусственным способом. Но об этом мы поговорим ближе к концу, а пока давайте увидим, какие решения имеет наше уравнение к задаче об участке земли:
0 200 10 2



x
x
,


900 200 1
4 10 2






D
,
30

D
,

17 10 1
2 30 10 1





x
,
20 1
2 30 10 2






x
Первое решение совпадает с ранее угаданным (10 м.), а вот второе (–20 м.) было нами «упущено». К счастью, это второе решение, как ещё говорят, не имеет физического смысла, поскольку размеры участка могут быть только положительными числами, но нередки случаи, когда отрицательные корни играют важную роль (кстати, корни не обязательно различны по знаку, бывает, что они оба положительны или даже оба отрицательны).
Давайте попробуем взять на себя труд составителей учебников алгебры и поупражняемся в создании квадратных уравнений. Для начала составим уравнение, не имеющее решений. Чтобы сделать это, надо задать три коэффициента a, b, c такие, чтобы дискриминант был отрицательным. Пускай, например,
1

a
,
1

b
, тогда дискриминант равен
c
D




1 4
1 2
, и нужно, чтобы он был меньше нуля
0

D
, следовательно, надо, чтобы коэффициент c был
4 1

c
Взяв любое число c больше одной четвёртой, получим уравнение без корней, например, при c=1:
0 1
2


x
x
То есть, левая часть полученного уравнения не равна нулю ни при каких значениях x.
Задавая любые два из трёх коэффициентов a, b, c вы можете спокойно находить третий из условия отрицательности дискриминанта и получать всевозможные уравнения, не имеющие корней.
Чтобы получить уравнение с одним корнем (вернее с двумя, но совпадающими, или ещё говорят с «корнем

18 кратности 2»), дискриминант должен равняться нулю. К примеру, таковым будет уравнение с коэффициентами
1

a
,
1

b
,
4 1

c
Очевидно, если мы хотим составить уравнение с двумя различными корнями, то необходим положительный дискриминант. Например, при
1

a
,
1

b
и всяком
4 1

c
уравнение неизбежно будет иметь два различных корня.
Попробуйте составить несколько квадратных уравнений
 без корней,
 с одним корнем кратности 2,
 с двумя различными корнями, задавая по своему усмотрению два коэффициента
a и b,
a и c,
b и c, и находя третий коэффициент из условий равенства или неравенства нулю дискриминанта.
В классе можно поиграть в игру: все придумывают и пишут на листочках по два-три квадратных уравнения, складывают эти листочки на один стол, учитель перемешивает их, а затем каждый учащийся наудачу вытягивает листочек и должен решить попавшиеся уравнения или же доказать, что решений они не имеют.
Удивительно то, что всякое квадратное уравнение вида
0 2



c
bx
ax
представимо как произведение двух скобок



0 2
1



x
x
x
x
a

19
Так уравнение нашей задачи об участке земли может быть записано в виде:



0 20 10 1




x
x
И на самом деле, раскрывая скобки, получим знакомое уравнение:
0 200 10 2



x
x
Этот факт имеет особое значение: теперь мы можем составлять уравнение, заранее зная, какие действительные корни оно будет иметь. Пусть, к примеру, мы хотим получить уравнение с корнями
3 1

x
,
5 2

x
Имеем



0 5
3




x
x
a
,


0 15 8
2




x
x
a
Задавая произвольным образом значение коэффициента a, только не a=0, мы получим уравнение, корни которого будут
3 1

x
,
5 2

x
Корни для уравнения вы можете брать такие, какие вам больше нравятся. Это могут быть простые числа или составные, чётные или нечётные и т.д.. Придумайте квадратное уравнение, корнями которого являются:
 два разных простых числа;
 два одинаковых простых числа;
 два разных составных числа;
 два одинаковых составных числа;
 одно число — простое, другое — составное;
 два разных чётных числа;
 два одинаковых чётных числа;
 два разных нечётных числа;
 два одинаковых нечётных числа;
 одно число — чётное, другое — нечётное;
 два разных положительных числа;

20
 два одинаковых положительных числа;
 два разных отрицательных числа;
 два одинаковых отрицательных числа;
 одно число — положительное, другое — отрицательное;
 два числа сравнимых по модулю;
 два числа не сравнимых по модулю.
Далее попробуйте придумать квадратные уравнения такие, чтобы их корни были:
 один — простой, другой — чётный;
 один — простой, другой — нечётный;
 один — простой, другой — положительный;
 один — простой, другой — отрицательный;
 один — простой, другой — сравнимый с ним по модулю;
 один — простой, другой — не сравнимый с ним по модулю;
 один — составной, другой — чётный;
 один — составной, другой — нечётный;
 один — составной, другой — положительный;
 один — составной, другой — отрицательный;
 один — составной, другой — сравнимый с ним по модулю;
 один — составной, другой — не сравнимый с ним по модулю.
Второй список значительно отличается от первого.
Составленные уравнения могут иногда подходить одновременно и для первого задания, и для второго.
Например, в первом списке имеем «два одинаковых положительных числа». Я напишу возможное уравнение:



36 12 6
6 2





x
x
x
x
,
6 2
,
1

x
Это же уравнение подойдёт и для пункта «один — составной, другой — четный» второго списка, ибо число

21
«6» является одновременно и составным и чётным.
Соответственно, я могу дать вам такое задание: когда вы составите уравнение по какому-либо одному пункту, найдите из двух списков другие пункты, которым отвечает это же уравнение.
В двух предложенных для упражнения списках фигурируют такие числа, как простые/составные, чётные/нечётные, положительные/отрицательные, сравнимые/не сравнимые по модулю. А ведь сюда же можно добавить и дружественные числа, и совершенные числа, и полусовершенные, и многие-многие другие! В таком случае, списки продлятся на несколько пунктов.
Попробуйте продолжить эти списки самостоятельно, используя десятичные/целые числа, рациональные/иррациональные. Если эти типы чисел не знакомы вам, то поищите их описание в справочной литературе или Интернете.
Попробуйте, зная специфику задачи о земельном участке, составить похожую на неё задачу. Например, мы предполагаем, что глубина детского бассейна один метр, его ширина 11 метров, а длина составляет 21 метр. Тогда площадь водной поверхности равна 11*21=231 кв.м. По этим, измышлённым нами данным, придумаем условие задачи: площадь водной глади в детском бассейне равна

  1   2   3   4   5

перейти в каталог файлов
связь с админом