Главная страница

Континуум и бесконечности. О строгой и ясной теории того, что в математике называют бесконечным


Скачать 448.5 Kb.
НазваниеО строгой и ясной теории того, что в математике называют бесконечным
АнкорКонтинуум и бесконечности.doc
Дата19.01.2018
Размер448.5 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаКонтинуум и бесконечности.doc
ТипКонкурс
#60859
страница1 из 8
Каталогto_infinity_and_beyond_808

С этим файлом связано 22 файл(ов). Среди них: Fritiof_Kapra_Povorotny_punkt_nauka_obschestvo_i_voskhodyaschaya, Fritiof_Kapra_Dao_fiziki.pdf, iloveart.gif, Gudmen_-_Sposoby_sozdania_mirov.pdf, Godfrey-Smith_Goodman_39_s_problem_and_scientific_methodology.pd, Tipy_Multiversov_v_sovremennoy_massovoy_kulture.pdf, PAmn160315.pdf, Razvitie_i_dinamika_Ierarkhicheskikh_mnogourovnevykh__sistem.pdf, Континуум и бесконечности.doc, 2402-bgv.pdf и ещё 12 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5   6   7   8

Все науки оказываются истинными в том

случае, когда не предполагают, что

континуум составляется из неделимых.

Т. Брадвардин


Бесконечности и континуум
Е. Б. Чижов
В 1784г. отделение математики Берлинской академии наук устроила конкурс на тему: «О строгой и ясной теории того, что в математике называют бесконечным», и назначила приз за лучшее решение проблемы бесконечности в математике. В условиях конкурса сказано: «Для обеспечения непрестанного обновления столь ценных преимуществ этой изящной области знания (математики) необходима ясная и точная теория того, что называется в математике бесконечностью»[1, с. 175]. Решить эту проблему в то время не удалось. Спустя 140 лет после этого конкурса о проблеме бесконечного Д. Гильберт писал: «С давних пор никакой другой вопрос не волновал человеческую душу так глубоко, как вопрос о бесконечном; бесконечное, как едва ли какая-либо другая идея, побуждающе и плодотворно действовало на наш разум; и однако ни одно другое понятие так сильно не нуждается в разъяснении, как нуждается в нём бесконечное»[2, т. 1, с. 433]. Это высказывание актуально и в настоящее время. Вот современное мнение по этому вопросу философа и математика В. Я. Перминова: «Нужно признать, что современная философия математики всё ещё базируется на традиционных и поверхностных по своей сути представлениях о статусе понятия бесконечности. Упускается глубинная связь бесконечности с первичными математическими идеализациями и с онтологическим основанием математики. Бесконечность истолковывается обычно как вторичное понятие, введённое для теоретического оправдания операций с конечными величинами…»[3, с. 158].

Понятие «бесконечное» и как следствие этого понятия понятие «континуум» являются основами метафизики в целом и основного раздела метафизики ¾ онтологии, а также фундаментальными понятиями математики и физики. Понятие «бесконечного континуума» чего-либо не имеет непосредственных аналогов в действительности, и поэтому его образование и понимание связано с большими трудностями. Конечномерные объекты всегда конкретные, а бесконечность и непрерывность пространства ¾ понятие абстрактное. Вопрос существования этих понятий имеет длинную историю, начиная с древнейших цивилизаций и вплоть до наших дней. То, что существуют конечномерные пространства, конечные объекты и предметы, не вызывает в нашем пространстве мышления никаких сомнений. Существование же бесконечного, в частности проблема существования бесконечных математического и физического пространств, не может быть дана нам в ощущениях, т. к. наша мыслительная способность ограничена, и может работать только в определённых энергетических пределах[4].

Как правило, понятия «бесконечное» и «бесконечность» применяется в философии, математики и физике при измерении пространства и времени и означает их неизмеримость. Синонимами слова «бесконечное» являются прилагательные «беспредельное», «безграничное», «неизмеримое», «нескончаемое», «вечное», дающее некоторые качества понятиям «пространство» и «время». Понятие «бесконечность» есть состояние и свойство пространства и времени, и грамматически является дополнением к этим понятиям. Применять слова «бесконечное» и «бесконечность» как таковые без принадлежности к имени существительного не имеет смысла. Поэтому необходимо говорить: бесконечный ряд чисел, бесконечное пространство, бесконечное движение материи, вечный мир и т. п.

Слово «континуум» произошло от латинского continuus  сплошной, непрерывный. Поэтому понятия «непрерывность» и «континуум» являются синонимами. Понятие «континуум» как имя сущее, также как и слово «бесконечное», вообще не может быть самостоятельно использовано, т. к. оно произошло от прилагательного, и означает качество имя сущего. Оно перешло в разряд дополнений и поэтому континуум чего: континуум пространства, линии, поверхности; непрерывность потока и т.п. Это понятие сродни понятию «движение», которое также не может быть использовано в качестве имени сущего и также переходит в разряд дополнений: движение чего. Поэтому часто встречающееся выражение «бесконечный континуум» неправомерно, и следует задать тот же вопрос: бесконечный континуум чего? Для конечномерных объектов их сплошность и непрерывность является очевидной и просто констатируется как непреложный факт. Непрерывный водный поток реки и непрерывный поток газовых выбросов двигателя самолёта, сплошность каменного валуна не вызывает никаких сомнений и принимается как аксиома. Сцепление атомов и молекул того или иного вещества, находящегося в определённом агрегатном состоянии, определяет его континуум. Этот континуум, состоящий из дискретных элементов, хотя и принимается непрерывным, но имеет ограниченные размеры и поэтому является дискретным континуумом. Вопрос существования континуума, имеющего безграничные размеры, является основным понятием мирового Бытия и имеет огромное космологическое и научное значение. Континуум пространства и времени строится при помощи математического континуума, а он, в свою очередь, при помощи математических бесконечностей числового ряда и понятия «мощности множества».

Оба понятия  бесконечность и континуум дополняют друг друга, наделяя новым качеством непрерывности «бесконечность», а непрерывный континуум неизмеримостью. В данной работе мы будем рассматривать понятие «бесконечного континуума» только пространства, т. к., согласно[5] время является относительным пространством. Поэтому современное понятие «пространство-время» заменено понятием «пространство-движение», и если мы будем говорить для краткости «континуум», «бесконечность», «бесконечный континуум», следует помнить, что эти понятия и выражения относятся к пространству.

Решение проблемы существования бесконечного континуума пространства является по самой сути комплексной, находящейся на стыке физики, математики и философии. Первоначальной важнейшей задачей является рассмотрение разрозненных понятий о бесконечностях пространства во всех этих трёх науках. Затем, сравнить их между собой и выявить единое понятие о бесконечности. При помощи единого понятия бесконечности пространства сконструировать и построить континуум бесконечного пространства.
1. Бесконечности
Современное понятие «бесконечность» имеет два аспекта: философский и математический и это понятие надо рассматривать именно с этих двух позиций.

Философское определение: «Бесконечное (бесконечность) ¾ философское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле»[6. Т.1. С. 246].

Математическое определение: «Бесконечность ¾ понятие, возникающее в различных разделах математики в основном как противопоставление понятию конечного»[7, с. 92].

Формулировки этого ключевого понятия философии и математики в обеих науках сильно разнятся. Если философское определение затрагивает все области бытия, то математическое определение не есть определение в строгом смысле этого слова, а является чисто утилитарным математическим понятием.

В Древней Греции бесконечность выражалась словом apeiron, буквальный перевод которого соответствует русскому слову «неограниченный». Слово «бесконечность» выражает собой отрицание всякого ограничения, т. е. имеет отрицательную форму. Чтобы отличить бесконечное от конечного греки дали ясное и непротиворечивое определение: бесконечное не имеет начала, конца или предела, оно неограниченно и беспредельно, в нём нет структуры и порядка. Такое определение понятия называется апофатическим (отрицательным); современная же наука требует, чтобы определение было катафатическим (утвердительным). Но для бесконечного невозможно дать катафатического определения, т. е. выразить его через более общее понятие, поэтому остаётся только один путь ¾ путь через отрицание наличия конечных атрибутов рассматриваемого объекта. По мнению Прокла «апофатические суждения занимают положение, равное катафатическим, хотя и в этом случае катафасис ничуть не более почётен, чем апофасис» [8, с. 126].
1.1. Познаваемость бесконечного пространства
Следуя определению бесконечного, древние греки, особенно софисты и скептики, высказывали соображения, что познание бесконечного невозможно. Скептик Секст Эмпирик в работе «Против грамматиков» так и говорит: «... даже о неподвижной бесконечности, не говоря уже о бесконечности переменчивой, никакое человеческое знание невозможно» [9, т. 2, с. 69]. Пифагор рассматривал бесконечность как сущность, которая не имеет реалий в нашем мире. Реалии появляются только тогда, когда на бесконечность накладываются математические ограничения: точка, линия, плоскость и др.

Средневековые схоласты рассматривали бесконечность в качестве атрибута Бога, и непостижимость Божественной сущности напрямую связывали с непостижимостью бесконечного. «Бесконечное не поддаётся познанию, поскольку не поддаётся счислению: сосчитать части бесконечого ¾ вещь сама по себе невозможная, поскольку содержит внутреннее противоречие»[10, с. 309], ¾ читаем у Фомы Аквинского. Познать нельзя, но помыслить можно считает А. Кентерберийский: «Беспредельно всё то, что в одно и то же время, сразу, всюду и целиком; и это можно помыслить...»[11, c. 136].

Философы более позднего времени, в частности Р. Декарт, также считали непостижимость бесконечного: «Не следует пытаться постичь бесконечное и … надлежит лишь полагать неопределённым всё, чему мы не находим границ»[12, c. 437].

«У нас нет идеи бесконечного пространства и нет положительной идеи бесконечного», ¾ решительно высказывает Дж. Локк, обстоятельно аргументируя невозможность её познания ограниченной способностью нашего пространства мышления[13].

Декларируя несовершенство и ограниченность нашего ума, Ж. Б. Робинэ писал: «Я не представляю себе ничего в бесконечности. Чем больше я думаю о ней, тем больше я убеждаюсь, как безрассудно со стороны ограниченного ума осмеливаться что-нибудь утверждать или отрицать о бесконечности»[14, с. 217]. И далее: «Бесконечность непостижима для нас. Мы также не можем определить её, как и понять её» »[14, с. 219].

Разумный скептик Д. Юм, констатируя шаткость оснований многих наук, отмечал: «Общепризнанно, что способности ума ограничены и никогда не могут достигнуть полного и адекватного представления о бесконечности; даже если бы это и не было общепризнанно, это стало бы достаточно очевидным из самого простого наблюдения и опыта»[15. Т. 1, с. 86].

Вот мнение Френсиса Бэкона о познаваемости бесконечного: «...мысль не в состоянии охватить предел и конец мира, но всегда как бы по необходимости представляет как бы существующим ещё далее. Невозможно так же мыслить, как вечность дошла до сегодняшнего дня. Ибо обычное мнение, различающее бесконечность в прошлом и бесконечность в будущем, никоим образом несостоятельно, так как отсюда следовало бы, что одна бесконечность больше другой и что бесконечность сокращается и склоняется к конечному. Из того же бессилия мысли проистекает ухищрение о постоянно делимых линиях» [16].

Томас Гоббс в «Левиафане...» следующим образом высказывался о познании бесконечного: «Всё, что мы себе представляем, конечно (finite).В соответствии с этим мы не имеем никакой идеи, никакого понятия о какой-либо вещи, называемой нами бесконечной. Человек не может иметь в своём уме образ бесконечной величины, точно так же он не может себе представить бесконечной скорости, бесконечного времени, бесконечной силы или бесконечной власти. Когда мы говорим, что какая-либо вещь бесконечна, то обозначаем лишь, что не способны представить себе конец и пределы названной вещи, так как имеем представление не о самой бесконечной вещи, а лишь о нашей собственной неспособности»[17, т.2, с. 21].

Одним из немногих философов, признающих, что бесконечность можно понять и раскрыть её сущность, был французский философ Д. Л-М. Дешан: «Мы постигаем, что бесконечность существует, и говорим, что не понимаем бесконечного,  это противоречие. Ибо на основании чего полагали бы мы, что оно существует, если бы мы его не понимали? Доказательство того, что мы его понимаем,  это то, что невозможно иметь представление о законченном без этого знания... Оттого, что мы не знаем, что такое бесконечное, мы говорим, что не понимаем его; но из нашего незнания о том, что такое бесконечное, не следует, что мы его не постигаем. Из этого следует лишь, что мы не раскрыли того, что оно представляет» [18, с. 98].

Б. Паскаль очень осторожно относился к этому понятию: «Мы знаем, что есть бесконечность, но природа её нам неведома… Существует бесконечность чисел, но мы не знаем, что это такое…Мы познаём существование бесконечного и не ведаем его природы, поскольку оно обладает протяжённостью, как и мы, но у него нет пределов, как у нас»[19, с. 288-289].

Ф. Энгельс считал, что познание бесконечного окружено разного рода трудностями, и совершаться в виде некого бесконечного асимптотического прогресса. Далее он делает вывод: «бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо»[20, c. 126].

Представленное краткое обозрение о познании и понимании, что такое бесконечность, относится к философии. Но и математики недалеко ушли в этом вопросе.

Великий математик Гаусс писал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность ¾ не более чем façon de parle1, означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают»[1, c. 232]. Подводя итог своей работе «О бесконечном» Д. Гильберт делает следующий вывод: «Наш общий вывод таков: В реализованном виде бесконечное не встречается нигде. Его нет в природе, и оно также недопустимо и в качестве основы нашего разумного мышления, ¾ достойный внимания пример гармонии между бытием и мышлением»[2, с. 448].

Казалось бы, что высказывания большинства философов и математиков не оставляют никакой возможности по построению, исследованию и пониманию
1 манера выражаться (фр.)
бесконечного. Но это не так. Бесконечность можно понять и построить. Способы построения и познания бесконечного даёт философ А. С. Кармин в работе «Познание бесконечного»[21]. По его мнению, познать бесконечное можно при помощи трёх уровней.

Первый уровень  уровень «эмпирической констатации факта невозможности зафиксировать границы каких-либо конкретных объектов». В этом случае объект имеет качественную характеристику «неограниченность», которая сродни бесконечному.

Второй уровень  уровень перевода качественной характеристики «неограниченность» в количественную характеристику, т. е. в количественную бесконечность.

Третий уровень  метафизический. Он заключается в том, что снимаются всякие абстракции и ограничения, на которых базируются представления о бесконечности.

По моему мнению, первые два уровня относятся к познанию и построению к ограниченной бесконечности и целиком зависят от чувственного восприятия окружающего мира человеком. Так исследование наблюдаемой Вселенной ограничено скоростью прохождения световых сигналов и сигналов радиоволн. Радиус наблюдения с планеты Земля может простираться только до расстояний  1031 см. Что находится за этим расстоянием, мы знать не можем. В этом случае, согласно первым двум уровням познания, бесконечность будет равна 1031см + 1см, что, по-видимому, не совсем приемлемо. Тогда остаётся только третий уровень, который является единственным верным с любых позиций: философских, математических и физических.
1.2. Математические бесконечности.

Познанию и конструированию математических бесконечностей посвящено очень большое количество работ[1-44]. Как было показано понятия «бесконечное» и «бесконечность» не могут быть выражены через человеческий опыт, они не могут быть выражены и через конечность человеческого мышления. Но эти понятия можно осмыслить человеческим мышлением и связать это осмысление с опытом, пролонгируя его (опыт) за собственные пределы. Существует ли бесконечность чисел, существует ли бесконечное число, существует ли бесконечное пространство, существует ли бесконечное движение, существует ли бесконечное время? Эти вопросы не являются праздными, и их решение может перевернуть все наши представления о Вселенной. В современном математическом понятии бесконечности заложены неразрешимые парадоксы, основанные на неправильном употреблении этой категории и самого слова «бесконечность», а также связывание с ним недостаточно ясных представлений. Например, считается, что материальный мир бесконечен, но его можно измерить по частям. В физической литературе часто можно встретить такое выражение: возьмём бесконечную Вселенную и разобьём её на конечное число областей. Если протяжённость какой-либо области измерить в метрах, то она будет состоять из бесконечного количества подобных областей. Если же область измерить в сантиметрах, то одно бесконечное число будет в сто раз больше другого бесконечного числа.

Обычные арифметические правила оказываются неприменимы к бесконечности. Например, считается, что
¥ + ¥ + … + ¥ = ¥,

_____________

n раз
в то время как для чисел, это математическое действие будет равно:
а + а + … + а = nа

_____________

n раз
Из этого примера ясно видно, что сложение бесконечностей не подчиняется правилу сложения чисел.

Другой пример:
(¥ + а) = ¥

(¥ - а) = ¥
Данный пример показывает, что часть и целое равны между собой. Следуя правилам арифметики, бесконечность, стоящая в скобках есть часть той бесконечности, которая является суммой или разностью. Но сумма или разность всегда больше или меньше своих слагаемых, следовательно, бесконечность больше самой себя, что является логическим абсурдом. Рассмотрим следующий пример:
¥/а = ¥ ´ а = ¥
С точки зрения формальной логики этот пример означает, что бесконечность и число а, являются и частями самих себя и целыми в отношении себя самих. Из этих коротких примеров видно, что бесконечность не подчиняется правилам сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Следовательно, относить это понятие к числам нельзя. Об этом пишут математики Р. Курант и Г. Роббинс: «… при переходе от прилагательного «бесконечный», означающего просто-напросто «не имеющий конца», к существительному «бесконечность» никоим образом не следует привносить допущения, что «бесконечность», обыкновенно изображаемая символом ¥, может быть рассматриваема как обыкновенное число. Нельзя включать символ ¥ в числовую систему действительных чисел, не нарушая при этом законов арифметики»[45, с 105]. Приведу выражение математика В. Кривова: «Особо подчеркнём, что ¥ не является натуральным числом»[46, с. 21]. Тем не менее, математики рассматривают множества, содержащие бесконечное количество элементов, принимая понятие «бесконечность» как число.

До сих пор собираются симпозиумы и конференции по исследованию понятия бесконечность и его связи с конечным, хотя все вопросы этой взаимосвязи были решены Аристотелем и Проклом, но об этом почему-то математики забывают. Вот теоремы доказанные Проклом[47]:

- никакая величина не может быть пройдена за бесконечное время.

- свойства бесконечных по величине тел бесконечны;

- бесконечной тяжести или лёгкости не существует;

- ничто бесконечное не может испытывать воздействия со стороны конечного;

- ничто конечное не может испытывать воздействия со стороны бесконечного;

- ничто бесконечное не может испытывать воздействия со стороны бесконечного.

Поэтому все взаимодействия конечного и бесконечного, а также взаимодействия бесконечного и бесконечного, в том числе и математические действия лишены смысла. Бесконечность в пространстве по смыслу слов означает, что нет ни начала, ни конца в какую бы сторону пространства не двигался познающий субъект или предмет: ни вперёд, ни назад, ни вверх, ни вниз, ни вправо, ни влево. Если число есть чисто счетная и количественная категория предметов, объектов и вещей, то понятие «бесконечность» не есть число и словосочетание «бесконечное число» бессмысленно. Бесконечной величине нет числа! Равенство целого своей части является характерным признаком бесконечной величины, её неизмеримость, невозможность выразить её через числовые величины.

Количественное или числовое пространство (пространство, ограниченное числом) должно находится, и двигаться в другом пространстве, где такого ограничения нет. Это пространство является полем для числового пространства и это поле называется бесконечным полем. Бесконечность не подчиняется закону построения созерцательным познанием потенциальной и актуальной бесконечностей и есть абстракция чистого разума. «Это расхождение между чувственной и рассудочной способностью указывает только на то, что ум часто не может выразить конкретно и превратить в созерцание те абстрактные идеи, которые он получил от рассудка. Но эта субъективная трудность, как это нередко бывает, ошибочно кажется каким-то объективным противоречием и легко вводит в заблуждение людей неосмотрительных, заставляя их принимать границы человеческого ума за пределы…», ¾ пишет по этому поводу И. Кант[48, с. 827]. Бесконечное не может быть выражено в понятиях опыта, т. к. бесконечное выходит за пределы пространства мышления, которое его мыслит. Если бесконечное мыслится человеком, то пространство мышления каким-то образом связано с бесконечным. Следовательно, понятие бесконечности проистекает не от желания самого субъекта мыслить это понятие, а от существования самого понятия бесконечного, влияющего на пространство мышления субъекта.

Человечество накопило громадный опыт в области бесконечного и пользуется различными типами бесконечностей в математике, физике и космологии: практической, безграничной, метрической, афинной, проективной, конформной, топологической и теоретико-множественной. Эти типы бесконечностей подробно рассмотрены в работе[49]. Математические и философские дискуссии по бесконечностям в основном касались количественного понятия бесконечности, не давая определения бесконечностям и не указывая их качественные свойства. Математическая наука не рассматривает и иногда даже отвергает философскую (метафизическую) бесконечность, прикрываясь тезисом, что каждая наука должна рассматривать только то, что касается её области.

Все эти типы бесконечностей основываются на двух более общих категориях бесконечного:

-потенциальная бесконечность;

-актуальная бесконечность.

По моим представлениям, бесконечное (бесконечность) есть субстанциальное понятие, обозначающее, что рассматриваемый объект не имеет ни начала, ни конца, как по количественной, так и по качественной категориям. С этих позиций и необходимо проанализировать существующие понятия бесконечного.
  1   2   3   4   5   6   7   8

перейти в каталог файлов
связь с админом