Главная страница

Континуум и бесконечности. О строгой и ясной теории того, что в математике называют бесконечным


Скачать 448.5 Kb.
НазваниеО строгой и ясной теории того, что в математике называют бесконечным
АнкорКонтинуум и бесконечности.doc
Дата19.01.2018
Размер448.5 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаКонтинуум и бесконечности.doc
ТипКонкурс
#60859
страница3 из 8
Каталогto_infinity_and_beyond_808

С этим файлом связано 22 файл(ов). Среди них: Fritiof_Kapra_Povorotny_punkt_nauka_obschestvo_i_voskhodyaschaya, Fritiof_Kapra_Dao_fiziki.pdf, iloveart.gif, Gudmen_-_Sposoby_sozdania_mirov.pdf, Godfrey-Smith_Goodman_39_s_problem_and_scientific_methodology.pd, Tipy_Multiversov_v_sovremennoy_massovoy_kulture.pdf, PAmn160315.pdf, Razvitie_i_dinamika_Ierarkhicheskikh_mnogourovnevykh__sistem.pdf, Континуум и бесконечности.doc, 2402-bgv.pdf и ещё 12 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8

1.2.3. Истинная и абсолютная бесконечности.
Бесконечное в его простом понятии можно рассматривать, прежде всего, как новую дефиницию абсолютного…»[23, с. 31], ¾ этими словами начинает раздел «Бесконечность» в книге «Наука логики» Г. В. Ф. Гегель.

В трёхмерном физическом мире, где всё рассчитано и измерено Абсолютной бесконечности не может быть. Человек как конечномерный субъект, допуская самую большую протяжённость во времени и пространстве, подспудно предполагает, что не существует ни какого начала и конца пространству и времени. Это и есть Абсолютное или Беспредельное пространство и время. Предполагая их существование, человек не может познать их через конечные понятия, и описать положительными характеристиками при помощи конечных метрик, математических понятий и логических построений. «Истинная бесконечность в точном смысле слова заключается лишь в абсолютном, которое предшествует всякому соединению и не образовано прибавлением частей», ¾ читаем у Г. В. Лейбница[25, с. 157]. Абсолютная бесконечность недоступна нашему исследованию не потому, что она имеет другую природу и подчиняется другим законам, нежели наш материальный мир, а исключительно потому, что Абсолютная бесконечность находится вне сферы действия наших органов чувств. Вследствие этого задаётся вопрос: существуют ли истинная и абсолютная бесконечности? Этот вопрос является краеугольным камнем оснований, как философии, так и математики. На него можно дать утвердительный ответ: да, существует.

Греки считали актуальную бесконечность недопустимым понятием, вспомним выражение Аристотеля: «Актуально бесконечное не существует». Это высказывание наложило отпечаток на всю математику. В математике истинная и абсолютная бесконечности не рассматриваются и, практически, не используются, у них даже нет математических символов. Единственным математиком, поставивший вопрос о существовании абсолютной бесконечности, был Г. Кантор, но и он не отличал понятие актуальной бесконечности от абсолютной.

В философии только небольшая часть философов исследовала это понятие. Среди них следует отметить Н. Кузанского, Г. В. Ф. Гегеля, Ф. В. Й Шеллинга и В. С. Соловьёва. В. Ф. Гегель в приведенной выше формулировке ясно дал понять, что абсолютная бесконечность существует. Аналогичную позицию занял Ф. В. Й Шеллинг: «Поскольку философия полностью находится в сфере бесконечного и над ней нет, как для математики, высшей рефлексии, она объединяет все рефлексии в самой себе, её должна всё время сопровождать рефлексия её собственной сущности; она не только знание, но всегда и необходимо одновременно и знание этого знания, но только не в бесконечном продвижении, а во всегда в наличной бесконечности»[93, с. 5]

Как же исследовать, познать и понять эту Абсолютную сущность? Для того чтобы синтетически рассмотреть Абсолютную бесконечность необходимо решить два вопрос:

- на каком языке рассматривать это явление;

- при помощи каких логических выводов исследовать это понятия: дедуктивных или индуктивных

На первый вопрос ответ довольно прост  на математическом языке геометрии и алгебры, вследствие гибкости и универсальности языка математики.

Для ответа на второй вопрос воспользуемся высказываниями Прокла и Хао Вана. Прокл: «Всё божественное вследствие своего сверх сущностного единства само по себе неизреченно и неведомо ни для какого вторичного; но оно познаваемо и постигаемо через причастное ему»[94, с. 170]. Хао Ван: «Чрезвычайно важной целью математической деятельности является открытие методов, с помощью которых бесконечное может изучаться конечным интеллектом»[95]. Эти высказывания чётко дают ответ, что данную проблему необходимо решать при помощи индуктивной логики.

Причастное Абсолюту есть актуальная бесконечность. Поэтому при её помощи необходимо сначала сконструировать саму категорию истиной бесконечности как таковой, бесконечности в себе, первоначальной научной абстракции, которая определяет онтологические особенности философских, математических и физических принципов и снабдить её символом, способным отразить в принципе всю бесконечность существующего мира. Затем на основании истинной бесконечности создать Абсолютную бесконечность.

Принцип построения истинной бесконечности дан в работах Гегеля, Шеллинга, Вл. Соловьёва и Н. Кузанского. Истинная бесконечность по Гегелю получается тогда, когда бытие сливается со своим инобытием: «Бесконечное есть, и оно есть в более интенсивном смысле, чем первое непосредственное бытие; оно истинное бытие, возвышение над пределом… оно в то же время есть отрицание некоторого иного, конечного»[23, с.131].

Под идеальной бесконечностью Шеллинг понимал непрерывное временное поле, в котором развёртывается деятельность природы и человека: «Эта абсолютная продуктивность8 должна перейти в эмпирическую природу. В понятии абсолютной продуктивности мыслится понятие идеальной бесконечности. Идеальная бесконечность должна стать эмпирической. Но эмпирическая бесконечность есть бесконечность становления. Любой бесконечный ряд  не что иное, как отображение интеллектуальной или идеальной бесконечности. Изначально бесконечен тот ряд (идеал всех бесконечных рядов), в котором развёртывается наша интеллектуальная бесконечность, время». [96, с. 194]. Но время, согласно[5] неподвижное обратное одномерное пространство (кривизна), поэтому нельзя согласится с мнением Шеллинга, наша же интеллектуальная бесконечность развёртывается в непрерывном пространстве-движении.

Далее он говорит, что необходимо синтезировать из двух противоположных бесконечностей некую третью: «...Одна из этих деятельностей, будучи неограниченной, произвела бы положительное бесконечное, другая  при том же условии  отрицательное бесконечное. В совместном продукте должны, следовательно, обнаруживаться следы обеих деятельностей, одна из которых в своей беспредельности произвела бы положительно бесконечное, другая  отрицательно бесконечное. Но, далее, эти деятельности не могут быть абсолютно противоположны друг другу, не будучи деятельностями одного и того же тождественного субъекта. Следовательно, они не могут быть и соединены в одном и том же продукте без некоторой третьей, синтезирующей их деятельности. Поэтому в продукте помимо следов обеих названных
8 бытие природы
деятельностей должен быть обнаружен и след некой третей деятельности, синтезирующей две противоположные деятельности» [97, с. 320].

«По смыслу слова «абсолютное» значит, во-первых, отрешённое от чего-нибудь, освобождённое и, во-вторых, завершённое, законченное, полное, всецелое», ¾ пишет Вл. Соловьёв[98, т.1, с. 703]. В значении слова «абсолютное» по Вл. Соловьёву заключается два логических определения: в первом значении оно берётся само по себе, в котором нет ничего другого, в котором нет конечного бытия; во втором значении оно обладает всем, имеющее всё в себе. С математической точки зрения первое значение есть 0, а второе значение есть ¥. Оба значения определяют «абсолютное», следовательно «абсолютное» должно содержать и 0 и ¥.

Н. Кузанский следующим образом определяет построение Абсолюта: «Максимальное количество максимально велико, минимальное количество максимально мало; освободи теперь максимум от количества, вынеся мысленно за скобки «велико» и «мало», и ясно увидишь совпадение максимума и минимума…»[99. Т.1. С. 54].

Таким образом, все эти четыре великих философа полагают, для того чтобы поучить истинную или идеальную бесконечность необходимо объединить две противоположные бесконечности: ¥ и 0.

За основу построения истинной и абсолютной бесконечности пространства примем эти положения философов. Возьмём внешнюю протяжённость материального мира в виде АБ f¥ и объединим её с внутренней протяжённостью материального мира f0, получим выражение истинной бесконечности:
¥f & f0 (1.6)
Символ f в записи (1.6) указывает на то, что актуальные бесконечности ¥f и 0f объединены в любом своём начале, и в этом начале находится познающий субъект (человек), поэтому истинная бесконечность, как таковая, не имеет ни начала, ни конца. Полученная запись (1.6) истинной бесконечности соответствует так называемому «второму» (первое Единое) платоновскому началу ¾ «большому» и «малому» или неопределённой двоицы, из которой происходит материя9. Математическая запись (1.6) точно соответствует словам Э. Левинаса о бесконечном: «Идея бесконечного это способ бытия ¾ бесконечное осуществление бесконечного. Бесконечность не может сперва быть, а потом обнаруживать себя. Её бесконечное осуществление производится как обнаружение, как внедрение в «я» идеи бесконечного»[100, с. 70].

Существование бесконечности бесконечно большого и бесконечности бесконечно малого, между которыми расположен человек, подвергло Б. Паскаля в религиозный трепет. «Кто задумается над этим, тот устрашится самого себя, и, сознавая себя заключённым в этой величине, которая определила ему природа между двумя безднами ¾бесконечности и ничто¾, он будет трепетать при виде этих чудес…»[101, c. 183].

Абсолютная бесконечность не имеет начала, следовательно, необходимо записать выражение (2.7) без финитных знаков:
¥ & 0 (1.7)
Этой записью мы, освободив максимум и минимум от количества и человека,
9 Такое учение отсутствует в диалогах Платона, но на него очень часто ссылается Аристотель в «Метафизике». Вот, что пишет Александр Афродизский, ссылаясь на работу Аристотеля « О Благе»: «Платон полагал, что Единое и неопределённая двоица ¾ первые начала чувственных вещей. Он также определял Неопределённую двоицу как умопостигаемое, называл её Беспредельным (apeion). Как начала он устанавливал «большое» и «малое», обозначая их как Беспредельное»[102, с. 309].

объединили обе бесконечности в одно целое, но познающему субъекту в этой бесконечности нет места!
1.3. Типы бесконечностей, используемых в физике, математике и космологии
Современная естественная наука использует следующие типы бесконечностей:

- физическая или практическая бесконечность;

- бесконечность как безграничность;

- метрическая бесконечность;

- аффинная бесконечность;

- проективная бесконечность;

- конформная бесконечность;

- топологическая бесконечность;

- теоретико-множественная бесконечность.

Рассмотрим, к какому виду бесконечностей относятся эти типы.
1.3.1. Физическая или практическая бесконечность
Бесконечное в смысле физической или практической бесконечности означает нечто очень большое или очень малое. Диапазон расстояний наблюдаемой Вселенной составляет от 1019 до 1031 см. Эти расстояния являются чисто оценочными и приближённым и их можно отнести к типичными потенциальными бесконечностями.

Диапазон расстояний 1-1031 см  потенциальной бесконечностью f¥f.

Диапазон расстояний 1-1019 см  потенциальной бесконечностью f0f.
1.3.2.Бесконечность как безграничность
Эта бесконечность понимается как выход за границу физической бесконечности, т. е. за границы наблюдаемого мира. Выход за границу 1031 см есть бесконечно большая величина. Что находится на расстоянии 1032 см, мы знать не можем. Выход за границу 1019 см осуществляется физиками, особенно на бумаге, довольно «успешно», т. к. они оперируют расстояниями 1031 см. Эта величина есть бесконечно малая. Обе эти величины также относятся к потенциальным бесконечностям  f¥f и f0f.
1.3.3. Метрическая бесконечность
Бесконечность предложена элеатами. Суть её заключается в том, что если мы выпустим стрелу из лука, подойдём к упавшей стреле, вновь выпустим стрелу ещё дальше, и так будем повторять вновь и вновь, то нет такой точки, за которой бы не находилась бы ещё более отдалённая. Элеаты представляли Землю как плоское пространство, подчиняющееся геометрии Евклида и не знали, что Земля имеет шарообразную форму. Для плоской геометрии Евклида метрическая бесконечность соответствует актуальной бесконечности f¥. Для шарообразной Земли геометрия соответствует геометрии Римана, который показал, что метрическая бесконечность его геометрии, соответствует бесконечности Евклидова пространства. На самом же деле это не совсем так. Если пространство имеет кривизну, то оно замкнуто само на себя, и мы обязательно придём в ту же точку, откуда вышли, как в своё время Магеллан. Поэтому метрическая бесконечность риманова пространства есть потенциальная бесконечность f¥f.
1.3.4. Аффинная бесконечность
При аффинных преобразованиях пространственных фигур не сохраняются не расстояния, ни углы, но точки переходят в точки, прямые  в прямые. Точки и прямые в аффинной геометрии не принадлежат пространству, а являются границей, которая не причислена к самому пространству. Аффинная бесконечность не является чисто количественной бесконечностью, т. к. увеличивается не только количество, но и растягиваются качественные составляющие фигуры: линии, плоскости. Поэтому это качественно-количественная потенциальная бесконечность
1.3.5. Проективная бесконечность
Модель проективной плоскости получается из аффинной плоскости путём дополнения её одной единственной бесконечно удалённой несобственной прямой. В проективной геометрии прямые замкнутые и понятие расстояния утрачивает силу. Поэтому проективная бесконечность является чисто качественной потенциальной бесконечностью.
1.3.6. Конформная бесконечность
Модель конформной плоскости получается из аффинной путём дополнения одной несобственной бесконечно удалённой точкой, в результате чего образуется круговая или конформная плоскость. На ней, как и на проективной плоскости нет расстояний, и эта бесконечность как и проективная есть чисто качественная потенциальная бесконечность.
1.3.7. Топологическая бесконечность
Топология занимается изучением взаимно-однозначных и взаимно непрерывных преобразований пространства. Взаимная однозначность означает, что каждой точке не преобразованного пространства соответствует только одна точка преобразованного пространства. Взаимная непрерывность состоит в том, что бесконечно близкие точки не преобразованного пространства также останутся бесконечно близкими одна относительно другой в преобразованном пространстве. Топологические преобразования пространства включают в себя движение этого пространства, которое может быть прямолинейным, замкнутым (окружность, эллипс). Поэтому бесконечность топологического пространства необходимо рассматривать в каждом конкретном случае его преобразования.
1.3.8. Теоретико-множественная бесконечность
Теоретико-множественная бесконечность подробно рассмотрена в разделе 1.2.2. и показано, что она не может быть актуальной количественной бесконечностью, а только качественной бесконечностью, в которой нет дискретных чисел. Построить актуальную бесконечность при помощи дискретных чисел не представляется возможным.
2. Континуум
Построение континуума, его структуры и представление непрерывности как таковой для познающего субъекта является наиболее трудным и исторически запутанным. По этому поводу Г. Лейбниц высказал следующую мысль: «Ведь для человеческого ума существуют два наиболее запутанных вопроса («два лабиринта»). Первый из них касается структуры непрерывного, или континуума (compositio continui), а второй ¾ природы свободы, и возникают они из одного и того же бесконечного источника»[103, т.1, с. 313]. Великий философ совершенно прав в постановке разрешения этих проблем. Непрерывное же не имеет структуры, следовательно, и свобода действия только тогда не будет встречать сопротивления, когда в пространстве нет структуры и нет той части пространства, которое мы называем материей или веществом. Д. Гильберт поставил перед математиками ряд проблем, и первое место по обоснованию математики заняла континуум-проблема: получение из дискретного точечного множества множество непрерывное[104]. Построению и исследованию различных структур континуума посвящено довольно обширная библиография[105-117]

Согласно Т. Брадвардина существует пять различных точек зрения древних учёных на построение и разложение непрерывности, которые, практически, не изменились до настоящего времени, а из этих пяти важнейшими являются три[68].
2.1. Континуум, слагаемый из неделимых
Демокрит, Лукреций, Левкипп строили непрерывный континуум из неделимых атомов, имеющих определённые размеры. Демокрит подразделял пространство на два подвида ¾ физическое, состоящее из атомов и пустоты и математическое, состоящее из амеров[56, 105, 118]. Основной процедурой дискретности пространства является процедура разложения геометрических тел на тончайшие плоскости, плоскости ¾на тончайшие линии, линии на атомы. Последние не делимы. Суть такого построения заключалось в том, что бесконечной делимости нет, и что конечная величина может быть получена только как совокупность большого количества малых, но конечных величин. Атомы и амеры имеют дискретное строение и их множество конечно. Континуум составляется из этих дискретных элементов. Пифагор и Платон полагали, что континуум слагается из неделимых точек, которые сродни амерам Демокрита. Концепция атомистическо-амеровского строения континуума Демокрита-Пифагора-Платона страдает существенным недостатком ¾ не решаемостью механизмов соединения этих неделимых элементов в одно целое.
2.2. Континуум, слагаемый из бесконечно делимых частей
Аристотель дал следующее определение непрерывности: «Непрерывное» есть само по себе нечто смежное; я говорю о непрерывном, когда граница, по которой соприкасаются оба следующих друг за другом предмета, становятся для обоих одной и той же и, как показывает название, не прерывается, а это невозможно, пока у них существуют два края. Из этого определения ясно, что непрерывность имеется в таких вещах, из которых путём касания может получиться нечто единое...»[50, т. 3, с. 167]. Он различал физическую и математическую непрерывности. Физические тела, хотя и касаются друг друга, но не могут создать абсолютную непрерывность, т. к. объёмное тело может соприкасаться с другим объёмным телом только поверхностью. Что касается математической непрерывности, то Аристотель приводит следующий аргумент. Две линии, соприкасаясь друг с другом, сливаются и образуют единое непрерывное. Две, три несколько десятков тысяч точек сливаются в одну точку, которая ни чем не будет отличаться от одной точки. Это есть математическая непрерывность Из математической непрерывности он делает вывод, что континуум не может состоять из неделимых частей, но он бесконечно делим: «Непрерывное есть то, что делимо на части, всякий раз делимые снова»[50, т. 3, с. 265]. .
1   2   3   4   5   6   7   8

перейти в каталог файлов
связь с админом