Главная страница
qrcode

Развитие понятия бесконечности в математике


Скачать 196,64 Kb.
НазваниеРазвитие понятия бесконечности в математике
Дата28.06.2020
Размер196,64 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаBeskonechnost_v_matematike_1 (1).docx
ТипРеферат
#112013
Каталог


«АКАДЕМИЯ УПРАВЛЕНИЯ ГОРОДСКОЙ СРЕДОЙ, ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВА И ПЕЧАТИ»
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
На тему: «Развитие понятия бесконечности в математике»

По дисциплине: «Введение в проектно-исследовательскую деятельность»

Руководитель проекта

Филатова Елена Юрьевна

_______________________

«___» __________20__г.

Разработала студентка 1 курса

Очного отделения

9С-12 группы

Щербань Снежана Ивановна

_______________________

«___» __________20__г.

Санкт-Петербург

2020 г




Содержание






















1 Введение



Бесконечность — это центральное понятие в математике. Математика – это шаг через бесконечность. Освоение математики – это, когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Это наука о бесконечности.1

Актуальность моей индивидуальной работы заключается в том, что так как понятие "бесконечность" – одно из самых удивительных и парадоксальных понятий в науке, она издавна волнует мыслителей и ученых. Проблемой бесконечности занимались многие выдающиеся математики. И мне стало интересно, как же всё-так развивалась бесконечность в математике.

Объектом моей работы является бесконечность в математике, а предметом – развитие бесконечности в математике.

Цель моей индивидуальной работы: понять, как развивался термин "бесконечность" в математике. В ходе исследований я должна подтвердить или опровергнуть свою гипотезу о том, что существует число, которое больше бесконечности.

В ходе моей работы будут решаться следующие задачи:
Изучить определение бесконечности
  • Исследовать историю возникновения термина "бесконечность"
  • Определить, какую роль играет бесконечность в математике
  • Привести пример применения бесконечности в математике
    Для достижения цели индивидуальной работы я воспользуюсь следующими методами исследования:
    Изучение литературы о бесконечности
  • Работа с интернет источниками
  • Сравнение и анализ найденного материал
    2 Теоретическая часть


    2.1 Бесконечность в древней математике


    В Древней Греции развитие математики протекало в сотрудничестве с философией. Греки считали: «Числа правят миром» или «Природа разговаривает с нами на языке математики». Вавилоняне рассматривали, для наглядности, неизвестные числа как длину линии или площадь фигуры, но последние всё же всегда оставались числами.

    Для древних греков бесконечность была двухголовым монстром: с одной стороны — бесконечно малое, с другой — бесконечно большое.

    Понятие бесконечности как математическая категория впервые появляется у Анаксагора (около 500-428 гг. до н. э). В сочинении “О природе" он писал: «И у малого ведь нет наименьшего, но всегда еще меньшее (ведь бытие не есть простое отрицание небытия). Но и у большого всегда есть большее. И оно равно малому по количеству. Сама же по себе каждая вещь и велика и мала».2
    Приблизительно в середине VI в. Пифагор основал этически-религиозный союз, который стал центром научных исследований. Пифагорейцы объясняли всю структуру мироздания с помощью числа как первоначала. Последователи Пифагора обратили внимание на связи чисел друг с другом и их отношения между собой. Они считали, что числовые отношения составляют самую сущность природы, и именно в этом смысле пифагорейцы говорили, что «все есть число». Поэтому познание природы для пифагорейцев было возможно только через познание числа и числовых отношений. В течение нескольких веков пифагорейцы были пионерами математических и естественнонаучных исследований.

    Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.

    В 4 веке до н.э. математик, врач и астроном Евдокс Книдский, ученик пифагорейца Архита, сделал самое необычное для античной науки открытие. Изучив теорию несоизмеримости, он пришел к поразительному выводу о том, что отрезки, называемые в пифагорейской школе несоизмеримыми, на самом деле вполне соизмеримы. Что собой представляют приближения 3/2, 7/5, 17/12…, как не отношения целых чисел, получаемые при построении отрезка v2, а приближения 7/3, 29/13, 123/55… и 7/6, 29/26, 123/110… отношения целых при построении v5? Разве нахождение боковых и диагональных чисел не говорит о том, что мы фактически соизмеряем несоизмеримый отрезок с единицей? Обоснование этой мысли побудило Евдокса искать точное определение понятия отношения величин и понятия пропорциональности (соразмерность, соизмеримость)3
    Так как Евдокс отвергал актуальную бесконечность пифагорейцев и элеатов. Можно предположить, что он не просто допускал бесконечное продолжение ряда 3/2, 7/5, 17/12 …?, но пытался доказать существование такого шага или отрезка, который задает максимально близкое к тождеству значение, выраженное целым числом, позволяющее затем установить отношение равенства, избытка и недостатка для v2. В противном случае, если такого конечного отрезка не существует, то не найдется и величины, опираясь на которую можно превзойти длину отрезка v2. Другими словами, окажется, что Ахиллес, бегущий по стороне квадрата, в состоянии догнать и обогнать черепаху, потому что длина его шага будет величиной постоянной, а бег Ахиллеса по диагонали никогда не завершится, потому что по закону построения иррациональной дроби v2 длина его шага станет до бесконечности сокращаться.

    Хотя Евдокс не указал арифметический способ достижения точного равенства между стороной и диагональю единичного квадрата, из его учения следовало, что построение соизмеримых и несоизмеримых отрезков происходит по одному и тому же правилу посредством потенциально-бесконечной делимости отрезков, определяющей геометрическую непрерывность на числовой прямой.

    2.2 Потенциальная и актуальная бесконечность


    Разделение бесконечности на потенциальную и актуальную означает, что в понятие бесконечности входят модальности: потенциал – это возможность, а актуал – это действительность.4

    Поскольку отрицать бесконечные процессы было невозможно, Аристотель попытался запретить использование актуальной бесконечности: «Бесконечное не может существовать как сущность или как свойство»5
    В учении о бесконечном Аристотелю принадлежит заслуга различения потенциальной и актуальной бесконечности. Аристотель подходит к проблеме бесконечного диалектически: бесконечное как таковое нельзя ни признавать, ни отрицать, но из этого не следует, как сказал бы Гераклит, что она существует и не существует. Это означает, что бесконечности как таковой нет, что бесконечность бесконечности рознь и что справедливо в отношении одной бесконечности, нелепо в отношении другой. Здесь-то Аристотель и вводит актуальную и потенциальную бесконечность.9
    Аристотель отрицает актуальную бесконечность, под которой он понимает бесконечное чувственно воспринимаемое тело и величину. Он признает лишь потенциальную бесконечность. Величина может быть лишь потенциально бесконечной, превосходя все своей малостью, будучи непрерывно делимой (в отличие от числа, которое, имея предел в направлении к наименьшему, не имеет предела, будучи мыслимым, в направлении к наибольшему, величина имеет предел в отношении к наибольшему, но не имеет предела в отношении к наименьшему). Но и число не может быть актуально бесконечным.

    Аристотель понимает бесконечность как процесс – не может быть бесконечного числа, но всегда может быть число, большее данного. Не может быть и наименьшей величины, но всегда может быть величина, меньшая данной. Подводя этому итог, Аристотель говорит: "То, вне чего всегда есть что-нибудь, то и есть бесконечное". Аристотель относится к бесконечности со страхом, он говорит, что бесконечное непознаваемо и неопределенно.

    2.3 Теория чисел


    Теория чисел в основном является наукой о системе обыкновенных целых чисел с присущими ей связями и законами. Целые числа составляют в большей мере как бы основу математики, а их законы обладают необыкновенной четкостью и прозрачностью, поэтому, по-видимому, К. Гаусс и назвал теорию чисел «царицей математики».10
    Весомый вклад в становление теории чисел оказали пифагорейцы, Евклид и Диофант. Благодаря Пифагору и его школе, происходит зарождение теории чисел.

    В суждении 20 девятой книги Евклида провозглашается, что существует бесконечное число простых чисел: «Существует больше простых чисел, чем любое предложенное [конечное] количество простых чисел». То есть в утверждении Евклида речь идет о потенциальной, а не об актуальной бесконечности. Он не говорит о том, что «существует бесконечное количество простых чисел», но «если задано любое конечное количество простых чисел, всегда существует на одно больше».

    Одним из первых нетривиальных результатов о бесконечности в теории чисел считается доказательство от противного бесконечности множества простых чисел в «Началах» Евклида: если предположить конечность множества простых чисел, то число, равное сумме единицы и произведения всех чисел из этого множества, не делится ни на одно из них, но при этом или само является простым, или делится на некоторое простое число, не входящее в исходное множество.

    2.4 Бесконечные ряды


    Бесконечные ряды были представлены в греческой математике, хотя греки пытались заниматься ими как конечными, насколько возможно, работая с произвольными конечными суммами
    Понятие бесконечных сумм фактически было известно ученым Древней Греции (Евдокс, Евклид, Архимед). Нахождение бесконечных сумм являлось составной частью так называемого метода исчерпывания, широко используемого древнегреческими учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т.д.

    Первое свидетельство применения бесконечного ряда обнаруживается у Архимеда в «Квадратуре параболы», где для доказательства утверждения о соотношении 4:3 площадей сегмента, заключённого между прямой и параболой, и треугольника, имеющего с ним то же основание и равную высоту, он суммирует бесконечный ряд:
    и затем перепроверяет результат методом от противного11

    Примерно в эти же годы с бесконечными рядами работает и французский философ, математик, астроном и теолог – Николай Орем (Орезмский). Он сформулировал аналогичные, как и у Суайнсхеда, ряды, только с помощью геометрических доказательств и получил суммы достаточно нетривиальных числовых рядов. Ещё одно важное открытие Орема заключалось в расхождении гармонического ряда.


    2.5 Бесконечно малые величины (Бесконечность, стремящаяся к нулю)


    Бесконечно малой величиной называют числовые функции или последовательности, бесконечно стремящиеся к нулю.13

    Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики.

    В Европе основополагающим трудом стал трактат Бонавентура Кавальери, в котором он утверждал, что объёмы и площади могут быть рассчитаны как суммы объёмов и площадей бесконечно тонкого сечения. Идеи были похожи на то, что изложил Архимед в работе «Метод», но этот трактат Архимеда был утерян до первой половины XX века. Работа Кавальери не была признана, так как его методы могли привести к ошибочным результатам, и бесконечно малым величинам он создал сомнительную репутацию.

    Первые попытки алгебраизации операций с бесконечно малыми были сделаны Валлисом, Барроу и Грегори в середине XVII века. Именно общие правила аналитической геометрии в дальнейшем позволили Ньютону и Лейбницу стать первооткрывателями математического анализа.

    Первая работа Ньютона по математическому анализу «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De analysi per aequationes numero terminorum infinitas) была завершена в 1669 году, но опубликована только в 1711-м. Эту книгу он написал в конце июня 1669 года (точные даты неизвестны) всего за несколько дней. Ньютон использовал разложение логарифмической функции в степенной ряд, описанное Николасом Меркатором в книге Logarithmotechnia, в том числе с использованием дробных и иррациональных степеней, и было ясно, что он понял принципы рядов Тейлора. «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» имел огромную ценность. После публикации этой работы, несмотря на ее небольшой объем, Ньютон был признан создателем анализа бесконечно малых, а его труд – основополагающим в этом новом разделе математики. Можно сказать, что результат его работы несколько неопределен: Ньютон видел огромную ценность найденного им абстрактного метода, однако, возможно, на начальном этапе, когда идея еще не оформилась окончательно, ему было сложно выразить ее доступно. Скорее всего, на этом этапе ему попросту не хватало терминов и обозначений. Он сосредоточил основное внимание на абстрактной задаче определения функции по известной производной. Кроме того, он рассматривает и обратную задачу о вычислении изменения функции (об этом рассказывается в конце книги). Наконец, он приводит краткий алгоритм расчета этого изменения (производной).

    Четкие правила вычисления производной позднее опубликовал Лейбниц. Рукописи Лейбница ждала более завидная участь, чем бумаги Ньютона: они не были проданы с аукциона, а более или менее систематическое их изучение с последующей публикацией было начато почти на сто лет раньше. Однако исследования творчества Лейбница никогда не были столь интенсивными и не принесли столь удивительных результатов, как те, что были выполнены исследователями биографии Ньютона после Второй мировой войны. Когда Лейбниц прибыл в Париж, ему было уже 26 лет. К этому времени он был лишь поверхностно знаком с «Началами» Евклида и знал немногим больше элементарной арифметики, изученной в школе по книге Клавия. Как рассказывал много лет спустя один из его первых учеников Иоганн Бернулли, издание «Геометрии» Декарта с комментариями Ван Схотена, с которым Лейбниц бегло ознакомился в университете, показалось ему слишком сложным. В Нюрнберге, где он жил после получения степени доктора в Альдорфском университете (1666 год), он поверхностно изучил Geometria indivisibilibus Кавальери. Так что, когда он прибыл в Париж в марте 1672 года, его знания были весьма плачевными, хотя, по словам Хоффмана, математика была у Лейбница в крови.

    Когда Ньютон и Лейбниц впервые опубликовали свои результаты, Ньютон получил свои результаты первым, но Лейбниц первым опубликовал свои. Позже Ньютон стал утверждать, что Лейбниц украл его идеи из неопубликованных заметок, которыми Ньютон поделился с несколькими членами Королевского общества. Именно через одного из секретарей Королевского общества, Ольденбурга, проходили письма, которыми обменивались Ньютон и Лейбниц в 1676-1677 годах. Их переписка прекратилась со смертью Ольденбурга. Ньютон никогда не был склонен благодарить других за вклад в его открытия, однако требовал от остальных признания того, чем якобы они были обязаны ему. Версия Лейбница была зафиксирована в письме к Ольденбургу от 3 февраля 1673 года, а тот в свою очередь сообщил об этом Ньютону. В итоге спустя 14 лет, когда возник спор о том, кто же первым открыл анализ бесконечно малых, Ньютон, словно желая показать склонность Лейбница к плагиату, писал: «Пелл обвинил Лейбница в том, что тот скопировал метод интерполяции из книги Мутона». В последующие месяцы Ольденбург и Лейбниц обменялись письмами, в которых последний пожаловался на недостаток знаний математики. Как позднее вспоминал Лейбниц, в то время он совершенно не знал геометрии.

    Тщательное изучение работ Лейбница и Ньютона показало, что они получили свои результаты независимо друг от друга, Лейбниц начинал с интегрирования, а Ньютон с дифференцирования. Сегодня разработка исчисления засчитывается как Ньютону, так и Лейбницу. Название новой дисциплины мы получили от Лейбница. Ньютон называл своё исчисление «методы производных».

    2.6 Теория множеств

    Создание теории множеств было подготовлено работами математиков XIX века, ставившими целью разработку оснований анализа. Первые работы в этой области были посвящены числовым множествам и множествам функций (Б. Больцано, Р. Дедекинд). Уже в этих работах ставился вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств. Непосредственным основоположником учения о множествах принято считать Г. Кантора, который в 1870 году разработал программу стандартизации математики, где любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Он стал первым, кто понял значение бесконечности и предал ей математическую точность. Георг Кантор в своей (теперь уже ставшей легендарной) публикации On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers доказал, что множество вещественных чисел «более многочисленно», чем множество алгебраических чисел. Так он впервые показал, что существуют бесконечные множества разных размеров.

    «Множество — это большое количество, которое позволяет воспринимать себя как одно» — Георг Кантор

    С 1874 по 1897 год Кантор неистово публиковал статью за статьёй, разворачивая свою теорию абстрактных множеств в расцветающую дисциплину. Однако она была встречена упорным сопротивлением и критикой; многие педанты считали, что его теории перешли в область философии и нарушили принцип религии. Однако, когда начали находиться практические применения математического анализа, отношение к теории изменилось, а идеи и результаты Кантора начали получать признание. К первому десятилению 20-го века его наблюдения, теории и публикации достигли своей кульминации — признания современной теории множеств новой, совершенно уникальной областью математики:

    Теория множеств — это математическая теория о точно определённых наборах (множествах) отдельных объектов, называемых членами или элементами множества.

    До Кантора никто не понимал бесконечность. Он показал, что бесконечность может быть вполне понятной. Это не одна бесконечность, а множество бесконечных бесконечностей. Сначала он взял числа: 1, 2, 3, 4, 5, … и т. д. Потом он взял ещё одно, казалось бы, меньшее множество, скажем, 10, 20, 30, … и т. д. Он доказал, что эти два бесконечных ряда одинаковы по размеру, потому что их можно собрать в пары: 1 и 10, 2 и 20, 3 и 30, … и т. д., так что эти бесконечности одного размера.

    Но что насчёт дробей? Уж конечно бесконечность дробей больше бесконечности целых чисел. Но Кантор нашёл способ объединить в пары все целые числа и бесконечность дробей.

    Теория множеств отличалась предельной абстрактностью. Математика окончательно отрывалась от всяких связей с представлениями о реальности. Привычные арифметические или геометрические интерпретации становились лишь некоторыми из возможных моделей. Множество, ключевое для Канторовской системы понятие, определялось им как совокупность элементов любой природы, мыслимая как единое целое. Помимо прочего, такое определение допускает возможность понимания самого множества как элемента, что приводит к самореференции, породившей позже знаменитые парадоксы. С 90-х годов XIX века начинается широкое обсуждение парадоксов теории множеств Кантора. Вот некоторые примеры парадоксов:

    1. Парадокс Кантора

    Рассматривая множество всех десятичных дробей, он выдвинул аргумент, что это большая бесконечность, поскольку как бы вы не пытались создать список всех десятичных дробей, можно создать новую дробь, которой нет в этом списке. Идея бесконечности расширяется: одни бесконечности оказываются больше других. Перед нами открылись двери, за которыми лежала совершенно новая математика.

    2. Парадокс Цермело – Рассела

    Парадокс, ставящий вопрос, содержит ли себя множество всех не содержащих себя множеств, вызвал и актуализировал дискуссию об онтологическом статусе множества. Так, поначалу в рамках математики, а позже и за ее пределами был возобновлен спор об универсалиях. Одни понимали множество как идеальную заданность, другие – как сконструированный концепт, третьи – как лишний и ненужный термин, а четвертые не видели общезначимой проблемы, говоря, что это внутренний вопрос математики.

    3. Парадокс математики в Боге

    Ко времени создания теории множеств математика не только обогатилась, но и обезбожилась. «Бог Авраама, Исаака и Иакова» вышел из веков схоластики «Богом философов», опутанным сетями доказательств. И если Р. Декарт еще говорил, что «математические истины, кои Вы именуете вечными, были установлены Богом и полностью от него зависят, как и все прочие сотворенные вещи»14
    В XVIII веке Леонард Эйлер использовал круги в качестве наглядно-графическое изображение множества. В XIX веке сходное изображение множеств использовал английский логик Джон Венн. Он изображал множества прямоугольниками, и использовал эти изображения для доказательства утверждений о множествах.

    Тесная связь между теорией множеств и философией математики породила много вопросов о природе противоречий и аксиоматизации этой теории. Во взглядах на то, как можно было бы удовлетворительно обосновать теорию множеств, имеются большие расхождения. Но подавляющее число математиков продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты этой теории в большинстве разделов математики и твёрдо верят в то, что усилия по устранению противоречий приведут к её реабилитации.

    «Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще» - Фрэнкель А., Бар-Хиллел И.

    2.7 Является ли бесконечность числом



    Сейчас вопрос о том, число ли бесконечность остаётся актуальным. Некоторые считают, что бесконечность — это не число, а понятие, абстракция. И приводят аргументы: в математике бесконечность означает буквально "отсутствие конца", "неограниченность". Бесконечность в математике следует рассматривать в первую очередь как свойство какого-то множества объектов либо итеративного процесса. Во вторую очередь - как знак, участвующий в определённых записях, конструкциях, обозначениях, несущий определённый смысл только в таких записях. Поскольку обозначение и название относительно удобные - знак и название употребляется в различных записях и поэтому получил распространение и кажется, что он имеет значение сам по себе, однако это не так.

    Но и есть люди, которые утверждают, что бесконечность есть число. И объясняют это тем, что с бесконечностью можно проводить математические действия. А с чем еще можно производить математические действия как не с числом? Но по существу знак бесконечности определяет не какое-то определенное законченное действие. Ведь само действие становиться незавершенным. Нельзя "вычислить" бесконечность. Нельзя прийти к ней. К ней можно только идти. Поэтому вопрос «Является ли бесконечность числом?» пока для меня не совсем ясен.

    3 Практическая часть



    3.1 Самые большие числа (сравнение с бесконечностью)


    На вопрос: «Какое же число является самым большим?» как правило, ограничиваются утверждением, что большие числа считаются бесконечными. Однако в определённый момент выясняется, что числа могут быть такими большими, что их практическое применение в реальной жизни и невозможно, и бессмысленно, и единственное, что оправдывает их существование – это факт их формального существования. Для любого числа мы всегда можем найти большее. Но существуют такие большие числа, которые ведут себя уже странно, которые мы не можем записать и даже не можем вычислить. Мы рассмотрим 4 самых больших числа.

    3.1.1 Стрелочная нотация Кнута


    Начнём, пожалуй, с числа «Тритри»

  • Но, проще объяснить можно так: Если есть одна стрелочка, то это всё тоже возведение в степень, то есть
    Вот и конкретный пример:
    Если у нас есть

    3.1.2 Число Грэма


    А что, если мы, к числу
    В 80-х годах это число попало в Книгу рекордов Гиннесса как самое массивное конечное число, когда-либо использованное в математических доказательствах. Оно было выведено Роном Грэмом как верхний предел для проблем теории Рамси о многоцветных гиперкубах. Число настолько большое, что для его записи используется стрелочная нотация Кнута и собственное уравнение Грэма. Даже сам Грэм не знает первое число. Вся наблюдаемая вселенная слишком мала, чтобы вместить в себя обыкновенную десятичную запись числа Грэма.16
    Последовательность Грэма растёт горазда быстрее, чем последовательность нотации Кнута.

    3.1.3 TREE(3)


    Теперь мы не будем говорить ни о степенях, ни о стрелочках. Все подобные обозначения слишком маленькие, чтобы выразить следующие числа.

    Дальнейшая работа с теорией Рамсея (Талантливый математик Фрэнк Пламптон Рамсей доказал, что полная неупорядоченность невозможна. Каждое достаточно большое множество чисел, точек или объектов обязательно содержит высоко упорядоченную структуру)17 математиков Джозефа Краскала и Харви Фридмана привела к числу TREE(3), у которого даже самая нижняя граница решения является сверхогромной, не говоря о верхней. Если число Грэма мы хотя бы можем записать, то число TREE(3) невозможно поместить в рамки нотации Кнута. Нотации Бауэрса стали отличной возможностью подобраться к пониманию функции TREE. Конечно, определить величину TREE(3) мы не можем, но с помощью итерационного «улучшения» нотации, проведенного английским математиком Крисом Бердом, удалось выяснить, что TREE(3) > {3,6,3[1[1¬1,2]2]2}.

    TREE(3) = … — это непостижимо великое число. Вероятно, способ определить его масштабы никогда не будет изобретен, так как это на порядок выше человеческих возможностей. Посмотрим, как выглядит начало числа:


    TREE(3) начинается таким образом и продолжается ОЧЕНЬ долгое время. Но их не бесконечное количество. Есть доказательство, что их конечное число и, если мы будем их очень-очень долго рисовать, то они закончатся. Но правда нам не хватит Вселенной, чтобы их нарисовать, потому что это число больше, чем число Грэма. Оно не просто больше, оно несравнимо больше, чем число Грэма. Мы даже не можем его записать какими-то стрелочками или какими-то подобными функциями.

    3.1.4 Бездна: SCG(n)


    Математики не могли остановиться на TREE(3) и пошли дальше. Subcubic Graph Function18
    С 1983 до 2004 г. математики Нил Робертсон и Пол Д. Сеймур в 500-страничном исследовании разработали теорию о том, что любое наследуемое свойство графов характеризуется конечным числом запрещенных подграфов. Теорема Робертсона-Сеймура распространяет эти результаты на произвольные замкнутые по минорам семейства графов. Теорема указывает, что множество тороидальных графов имеет конечное препятствующее множество, но не дает ни одного такого множества. Полный набор запрещенных миноров для тороидальных графов остается неизвестным и содержит по меньшей мере 16 тыс. графов.

    Теорема Робертсона-Сеймура доказывает, что подкубические графы (простые или нет) вполне обоснованы гомеоморфной вложимостью, подразумевая, что такая последовательность не может быть бесконечной. Таким образом, для каждого значения k существует последовательность с максимальной длиной. Функция SSCG(k) обозначает эту длину для простых субкубических графов. Функция SCG(k) обозначает эту длину для (общих) субкубических графов.

    Последовательность SSCG начинается с SSCG(0) = 2, SSCG(1) = 5, но затем быстро растет. SSCG(2) = 3 × 23 × 295 – 8 ≈ 103,5775 × 1028.

    SSCG(3) не только больше, чем TREE(3), он намного больше, чем TREE (TREE (... TREE(3) ...)), где общая глубина вложенности формулы является уровнем TREE(3) функции TREE. Нет качественного различия между асимптотическими темпами роста SSCG и SCG.

    Но даже, если сравнивать все эти числа с бесконечностью, то они всё равно никогда не дойдут до неё. Бесконечность намного сложнее, чем большинство может представить, и если вы могли представить числа, которые я перечислила выше, то бесконечность самая странная и противоречивая.

    Рассматривая нотацию Кнута, число Грэма, число TREE(3), функцию субкубического графа, то у всех них, всё же есть конец, ведь у каждого числа должен быть предел. Но у бесконечности не существует конца, и никакое другое число не сможет достичь её.

    3.2 Нахождение сверх бесконечности


    Если бесконечность — это число (или, скорее, разновидность числа) у которого нет конца, значит нет ничего больше бесконечности? Не совсем.

    Алеф нуль
    Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до
    Что если есть мощность настолько большая,онтологический максимализм
    — пусть существует все, что возможно. Бесконечную мощность никак не получить «снизу» — ни добавляя элементы конечное количество раз, ни итерируя powerset (операция множество всех подмножеств, которая создает мощность большую, чем исходная) конечное число раз, используя конечные множества для затравки, бесконечности вы не получите. Чтобы получить бесконечность, вы где-то должны уже иметь ее. Существование бесконечной мощности вводится специальной аксиомой – аксиомой бесконечности. Без нее существование бесконечной мощности недоказуемо.

    Разумеется, мы можем пойти дальше, итерируя powerset(

    Мы имеем:


    Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?

    3.3 Парадокс бесконечного отеля (анализ)



    Теперь перейдём к более удобному рассуждению о бесконечности.

    Представьте себе гостиницу с бесконечным количеством комнат и трудолюбивым ночным администратором. Как-то ночью бесконечная гостиница оказывается забита под завязку, все занято бесконечным количеством гостей. В гостиницу заходит человек и просит комнату, но, вместо того чтобы отказать, администратор решает освободить для него одну. Но как? Всё просто: он предлагает постояльцу в номере 1 переехать в номер 2, жильцу из номера 2 в номер 3, и так далее. Все гости переезжают из номера n в номер n + 1. Количество номеров бесконечно, а значит для каждого постояльца найдётся новая комната, а номер один освободится для нового клиента. Этот алгоритм можно использовать для любого конечного числа гостей.

    Но вот у гостиницы останавливается бесконечно большой автобус со счетно-бесконечным количеством пассажиров. Сначала, увидев бесконечное

    количество пассажиров, администратор приходит в замешательство, но потом понимает, что может всех разместить. Он просит постояльца из номера 1 перейти в номер 2, затем он просит того, кто в номере 2 перейти в номер 4, из номера на 3 в номер 6, и так далее. Все клиенты переезжают из номера n в номер 2n, заполняя бесконечное количество комнат с чётным номером. А значит администратору удается освободить бесконечное количество нечётных номеров. И в них въедут пассажиры бесконечного автобуса.

    Но вот как-то ночью происходит невероятное. Администратор выглядывает в окно и видит бесконечную череду бесконечно больших автобусов, и в каждом счетно-бесконечное количество пассажиров. И что же тогда делать? Евклид доказал, что количество простых чисел бесконечно, и чтобы решить эту, на первый взгляд, безнадежную задачу и найти бесконечное количество комнат для бесконечного числа пассажиров бесконечных автобусов, администратор перемещает всех постояльцев в номер с первым простым числом – 2, возведенном в степень равную номеру их комнаты. И, к примеру, тот кто сейчас занимает комнату номер 7 переедет в номер 2 в 7 степени, то есть в 128-ой. Администратор распределяет пассажиров первого бесконечного автобуса в комнаты. Их номера соответствуют следующему простому числу – 3, возведенному в степень равному номеру сидения в автобусе. Значит человек на сидении 7 в первом автобусе идет в комнату 3 в 7 степени, то есть в комнату 2187. Так происходит со всеми в первом автобусе. Пассажиры второго занимают степени следующего простого числа 5, следующего автобуса степени 7, затем 11, 13, 17 и так далее. У всех этих чисел множителями могут быть только единица и простое число в степени с натуральным показателем. Поэтому номера комнат ни у кого не совпадают.

    Алгоритм ночного администратора можно применить только из-за того, что, хоть и являясь настоящим вычислительном кошмарам, эта гостиница оперирует только на низшем уровне бесконечности. В основном на уровне счетой бесконечности натуральных чисел: 1, 2, 3, 4 и так далее. Георг Кантор назвал этот уровень бесконечности Алеф нуль
    В бесконечной гостинице действительных чисел есть подвальные комнаты с отрицательным номером, дробные комнаты, квадратные корни из комнат, или номер
    такой гостинице даже за бесконечную зарплату. Однако в бесконечной гостинице Гилберта, где все комнаты заняты, но одновременно всегда есть свободные, трудности, с которым и сталкивается обычный администратор,

    напоминает, как сложно нашим относительно ограниченным умом осмыслить необъятную природу бесконечности.

    4 Заключение



    История бесконечности в математике довольна длинная, и даже, возможно, как бы это не звучало странно, бесконечная. Начиная от древней математики, возникшей ещё до нашей эры, пройдя через множество споров, теорий и доказательств, и дойдя до наших дней. Скорее всего, развитие бесконечности не остановится, и будет развиваться далее, и в будущем.

    А что же насчёт числа, которое может опередить бесконечность. Существует ли такое число? Точного ответа я не нашла. Исходя из всей полученной мной информации, я считаю, что моя гипотеза о том, что существует число, которое больше бесконечности, частично, подтвердилась. Ведь есть различные виды бесконечностей, и среди них есть те, которые, по сути, являются больше, чем другая какая-либо бесконечность. Но, всё же это не так просто. И не стоит отрицать тот факт, что бесконечность – это, всё же, что-то непостижимое для нас.

    Математики и сейчас разрабатывают теории, которые могут использоваться для создания «самого-самого» числа. Поиски конечного числа продолжаются. Будет ли оно когда-нибудь найдено?

    Паскаль так описал экзистенциальный ужас, охватывающий его при мысли о безграничности мира: «Вечная тишина этого бесконечного пространства пугает меня». Числа дают нам возможность установить рамки понимания и границы дозволенного. Они — наше реликтовое излучение, возможность подойти к метафорическому краю мира. Но, как в космосе нельзя долететь до такого места, где будет висеть табличка «конец Вселенной», так и в математике невозможно достичь последнего рубежа.

    В бесконечность верят не все. Израильский профессор математики Дорон Зильбергер утверждает, что, по его мнению, числа не будут продолжаться вечно, и найдется настолько большое число, что, когда вы добавите к нему единицу, вы придете к нулю. И хотя это число едва ли когда будет обнаружено и едва ли кто сможет его вообразить, бесконечность является важной частью математической философии.

    Долгими веками, и до наших дней, люди так и продолжают задаваться бесконечными вопросами о бесконечности.

    5 Список используемых источников


    1. Проблема бесконечности в философии и математике
    2. Алексей Савватеев «Математика для гуманитариев» Живые лекции
    3. У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте
    4. Начала Евклида. Книги VII-X / Перевод с греческого и комментарии Д.Д. Мордухай-Болтовского, 1949
    5. Математика и ее история. Глава 10 «Бесконечные ряды»
    6. Дуран Антонио «Истина в пределе [Анализ бесконечно малых]»
    7. Jesus Najera «Введение в теорию множеств» (перевод)
    8. Видео ресурс «История математики. За пределы бесконечности»
    9. Неисчислимое: в поисках коечного числа
    10. Виды бесконечностей

     Алексей Савватеев «Математика для гуманитариев» Живые лекции, университет Дмитрия Пожарского, 2018

     Фрагменты сочинения Анаксагора «О природе»: Симпликий, Комм, к «Физике», 155, 23.


     Тезаурус русской деловой лексики

    Борис Шуранов «Математическое решение проблемы бесконечности»

     Фрагменты сочинения Аристотеля «Физика» Карпов В. П. Глава пятая

     Открытие без границ. Бесконечность в математике Грасиан Энрике

     Фрагменты сочинения Аристотеля «Физика» Карпов В. П. Глава шестая

     Фрагменты сочинения Аристотеля «Физика» Карпов В. П. Глава шестая

     Курс лекций по древней философии. ТЕМА 65. АРИСТОТЕЛЬ О БЕСКОНЕЧНОСТИ

     Ш. X. МИХЕЛОВИЧ «ИЗ ИСТОРИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ»

     Доказательство от «противного» - метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. [толковый словарь математических терминов]

     Ричард Суайнсхед или Суисет (англ. Richard Swineshead или Suisset, первая половина XIV века) – философ и логик, самый видный представитель группы oксфордских калькуляторов из Мертон-колледжа, членом которого он был с 1344. [ Толкование

    Определение бесконечно малой величины в статье «Бесконечно малые величины и их свойства»


    Игорь Дмитриев «Упрямый Галилей» [158 стр.]

    ГУГОЛОГИЯ ДЛЯ ВСЕХ вики

    10 самых больших и важных чисел

     Теория Рамсея

     Перевод: Функция Субкубического Графа

    ZFC – теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств.



    перейти в каталог файлов


  • связь с админом