Главная страница

Тригонометрия III. Тригонометрия iiiрене Декарт для Вебинариумаегэ


Скачать 203.6 Kb.
НазваниеТригонометрия iiiрене Декарт для Вебинариумаегэ
АнкорТригонометрия III.pdf
Дата12.04.2017
Размер203.6 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаTrigonometria_III.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#30811

С этим файлом связано 5 файл(ов). Среди них: Trigonometria_III.pdf, Trigonometria_II.pdf.
Показать все связанные файлы

Тригонометрия III
Рене Декарт для Вебинариума
ЕГЭ
Наконец, после двух статей по тригонометрии, с ней покончено. Отныне синусы и косинусы будут представлять из себя обычные члены уравнения, без разбора: привычная ли то неизвестная типа x или значение тригонометрической функции. Теперь главная задача – привыкнуть оперировать этими самыми “тригонометричными” членами уравнения, используя определенные формулы, чтобы прийти к простейшему уравнению типа sin
(x)=a . И вот когда оно будет получено, как раз и начнется сама тригонометрия: придется вспоминать замечательные углы или пользоваться арк-функциями, рисовать картинки и на них отмечать искомые корни – но это пройденный этап!
В день своего экзамена ЕГЭ 2015 я был удивлен: на форзаце КИМа, где обычно публикуют правила заполнения и формулы вычисления площадей и объемов фигур, появилась еще одна колонка – необходимые тригонометрические формулы. Да, теперь для решения задачи С1 необходимо только выбрать нужные формулы из подсказок и их применить – вот это забота!
Стоит немного успокоиться, но расслабляться нельзя: формулы еще применить нужно в правильном месте, а это не так просто, и без должной тренировки не справиться. Поэтому будем с ними знакомиться и учиться их применять. Позвольте торжественно огласить список необходимых формул:

cos
2
(x)+sin
2
(x)=1

sin
(2 x)=2 sin(x )cos(x)

cos
(2 x )=cos
2
(x )−sin
2
(x)

sin
(x)±cos(x)=

2sin
(x± π
4
)

sin
(x±y )=sin(x)cos ( y)±sin( y)cos(x)

cos
(x± y)=cos(x)cos( y)∓sin(x)sin( y)

cos
(3 x )=4 cos
3
(x)−3 cos(x)

sin
(3 x)=3 sin(x)−4 sin
3
(x)
С этими формулами ничего не поделаешь – придется учить наизусть. Скажете, их должно быть больше? Возможно, но этого списка более чем достаточно. Например, я не стал писать, что косинус двойного угла (третья формула) представима еще двумя способами, так как к этому совсем нетрудно прийти при помощи первой фурмулы (которая, кстати, важна как воздух!). Также забудем о формулах половинного угла, поскольку они равноценны, а иногда даже хуже, чем формулы двойного. Сейчас покажу.
Решим уравнение:
sin
(x)+cos(
x
2
)=0.
Логично воспользоваться формулой половинного угла, чтобы аргументом всех функций уравнения стал х, верно? Но намного проще применить формулу двойного угла и привести уравнение к виду:
2sin
(
x
2
)cos(
x
2
)+cos(
x
2
)=0⇔
cos
(
x
2
)⋅(2sin(
x
2
)+1)=0 ⇔
cos
(
x
2
)=0, или sin(
x
2
)=−1/2.

Половинные углы – это вовсе не беда: сейчас мы решим это уравнение для x/2, а потом просто умножим получившийся ответ на два, чтобы получить ответ для х. Просто существует привычка работать с углом х, но иногда проще отойти от нее и схитрить, как сейчас. Тогда доведем до конца начатое:
По старой традиции изобразим множество ответов на тригонометрическом круге. Заметьте, раз аргумент функций – х/2, то и координаты будут немного другими (см. картинку). Жирными точками на круге отмечены углы, которые, исходя из полученных простейших уравнений, являются ответами. То есть косинус двух из них равен нулю, а синус двух других – -1/2. Тогда запишем ответ для
х/2:
x
/2= π
2
n;
7
π
6
+2 π n;
11
π
6
+2 π n, n∈ℤ.
Осталось только увеличить полученный ответ вдвое:
х
=π+2 πn ;
7
π
3
+4 πn ;
11
π
3
+4 πn , n∈ℤ.
Да, я не ошибся, там именно 4πn.Ведь все преобразования были равносильными и верными. Казалось бы, какая разница, через круг точки расположены (2πn) или через два (4πn), ведь на круге они все равно совместятся в одну.
Но оказывается, угол, скажем,
7
π
3
+2 π не подходит. Довольно интересно и полезно поэксперементировать и понять, почему это так.
А вот как бы пришлось мучиться, пользуясь формулой половинного угла:
sin
(x)+cos(
x
2
)=0 ⇔
±

1
+cos(x)
2
+sin(x )=0.
Потом бы пришлось возводить в квадрат, учитывать, что синус мог быть и отрицательным...
В общем, не нужно так делать.
Разберем еще один пример уравнения, когда следует изменить эстетическому желанию добиться х в аргументе всех функций и попытаться дойти до ответа для 2х.
Решим уравнение:
2sin
2
(x)+cos(4 x )=0.
Если два раза использвать формулу двойного угла для косинуса и привести все к х в аргументе, то получится какая-то мерзость в четвертой степени – она нам не нужна. Вместо этого разумнее присмотреться к синусу: его довольно просто преобразовать в косинус двойного угла, ведь:
cos
(2 x )=cos
2
(x )−sin
2
(x )=1−2 sin
2
(x).
Тогда перенесем все, что связано с синусом в правую часть уравнения и прибавим по единице в каждой части:
cos
(4 x )+1=−2sin
2
(x)+1 ⇔
cos
(4 x )+1=cos(2 x)⇔
cos
2
(2 x)−sin
2
(2 x )+1=cos(2 x).
Теперь снова применим первую и самую главную формулу из списка, чтобы избавиться от синуса:

2cos
2
(2 x)−1+1=cos(2 x)⇔
2cos
2
(2 x)=cos(2 x ).
Сократим на косинус. Но так просто этого делать нельзя: он же может быть равен нулю, и тогда равенство выполняется.
cos
(2 x )=0, или 2cos(2 x)=1.
Значит, cos
(2 x )=0, или cos(2 x )=
1 2
.
Как всегда отметим решения на тригонометрическом круге:
Опять заметим, что система координат необычная: координатные оси – sin(2x) и cos(2x). Жирными точками на круге отмечены углы, которые являются решением тех двух простых тригонометрических уравнений для аргумента 2x. Тогда запишем ответ:
2 x
= π
3
+2 π n;
5
π
3
+2 π n; π
2
n ,n∈ℤ.
Теперь поделим ответ пополам, чтобы получить значение x:
x

6
n ;
5
π
6
+ πn ; π
4
+ π
n
2
, n
∈ℤ.
Заметьте, что все шаги решения до тригонометрического круга никак не связаны с сутью тригонометрии. Есть уравнение, в нем есть некоторые элементы, которые сокращаются по особым своим правилам и формулам. А какие то элементы – в общем-то наплевать – мы могли их и сами выдумать. Главная задача – не стесняться и жонглировать этими элементами с помощью формул, доводя уравнение до простейшего вида (как оно выглядит перед зарисовкой тригонометрического круга). И только потом, при обозначении ответов на круге, приходится вспоминать, что те самые элементы – тригонометрические функции.
Если это уметь делать без ошибок – один балл обеспечен. В заданиях С1 есть второй пункт, за которой могут поставить еще столько же.
Отбор корней
Надеюсь, мне удалось убедить вас рисовать тригонометрический круг в любой непонятной
(да и в понятной тоже) ситуации. Во втором пункте задания по тригонометрии он просто необходим. В этом пункте вас попросят отобрать несколько корней из множества решений уравнения первого пункта, которые входят в указанный интервал. Обычно в ЕГЭ этот интервал не больше 2π. Дело обстоит сложнее в противном случае, но об этом чуть позже.
Скажем, в первом пункте С1 попалось следующее уравнение:
2cos
2
(x)+cos(x)−1=0 ⇔
(2cos(x)−1)(cos(x)+1)=0⇔
cos
(x)=
1 2
, или cos
(x)=−1.
Как обычно отразим множество ответов на тригонометрическом круге.

Запишем полученный ответ:
x

3
+2 πn ;
5
π
3
+2 πn ;π+2 π n, n∈ℤ.
А во втором пункте, скажем, необходимо отобрать корни предыдущего уравнения, лежащие в интервале
[−π
2
;
2
π
3
].
Чтобы отобрать корни, конечно, можно подставлять разные n в ответ и следить, попадает ли получившийся корень в указанный интервал. Однако в этом легко запутаться: что-нибудь неверно сложить или не учесть (не говоря уже о том, что это долго). А еще этот способ не наглядный, поэтому избавимся от него. Намного интереснее и проще откатиться чуть назад и иметь ввиду не выписанный в первом пункте ответ, а зарисованный круг с отмеченными на нем ответами. Однако помните о координатах: если на рисунке вы отмечали не решения уравнения, а, скажем, удвоенные решения (2х), то, естественно, просто перерисовывать круг нельзя. Нужно заново его нарисовать и отметить на нем уже только те углы, которые являются непосредственно корнями предыдущего уравнения. Отметим на круге еще и указанный интервал и убедимся, что теперь все совсем элементарно.
Все-таки это немного другой круг, нежели был раньше.
Теперь нижняя точка, косинус которой равен ½,
называется -π/3. Помните, я как-то раз вскольз упомянул о том, что тригонометрический круг – на самом деле не круг, а объемная спираль, что-то вроде пружинки, каждый виток которой это оборот в 2π. Так вот это правда. И во втором пункте помнить об этом очень важно: теперь нам придется подcтраиваться под указанный интервал и изображать тот виток, который от нас хотят. Это еще повезло, что интервал
[−π
2
;
2
π
3
], а мог бы быть,
например, таким:
[−
9
π
2
;
10
π
3
]. Кстати, этот интервал был бы обозначен на круге той же дугой, что и на рисунке, ведь -9π/2 и есть -π/2, только на другом витке (их разность 4π). Но при последнем интервале круг был бы другим витком спирали: через один от нашего в “отрицательную” сторону.
Мне кажется, это одна из самых сложных вещей. Однако она очень важна, а главное полезна для понимания. И все же наконец отберем корни, исходя из рисунка: очевидно, подходят те ответы, по которым проехалась выделенная дуга, а именно: -π/2; -π/3; π/3; π/2. Еще раз подчеркну: только четыре точки, а не
−π
3 +
2
π n ; π
3 +
2
πn ...
Тогда это уже были бы точки со всех витков, а у нас конкретный интервал на одном витке. Или можно понять это по-другому:
возьмите любое значение n, кроме нуля, подставьте в выписанный ответ и проверьте, лежит ли полученное число в указанном интервале. Для наглядности можно даже вместо π подставить его приближенное значение – 3,14.
Теперь при все том же уравнении, представим, что интервал во втором пункте такой:
[− π
2
; 3
π]. Снова отобразим его на круге (мы-то знаем, что на спирали).
И правда, на спирали. Теперь на рисунке можно видеть два ее витка сразу. А все оттого, что указанный интервал больше одного круга – больше 2π. И выделенная дуга, обозначающая интервал, захватывает более одного круга – более одного витка. Интервал начался с -π/2, потом прошел весь круг вплоть до точки 3π/2, которая отмечена на рисунке той же точкой, только уже на соседнем витке: и правда, как я и говорил, соседние витки отличаются на 2π. Но интервал на этом не закончился и пошел по второму витку
(изображен кругом меньшего радиуса) вплоть до точки 3π и там закончился. Что такое 3π? Это как раз π + 2π, то есть точка π, только на соседнем витке (или круге – как больше нравится).
Надеюсь, теперь будет проще ужиться с тем, что тригонометрический круг – лишь виток бесконечной тригонометрической пружины. Отсюда, кстати, и бесконечность количества корней уравнения. Еще раз напомню ответ, который мы получили, решая последнее уравнение:
x

3
+2 πn ;
5
π
3
+2 πn ;π+2 π n, n∈ℤ.
Неспроста, как я уже отмечал, мы записываем ответ с помощью целого параметра n. Углов, косинус которых равен, скажем, ½ бесконечность – ведь мы имеем дело со спиралью. На одном витке (круге) таких угла два – π/3 и 5π/3, а витков на спирали бесконечное количество
(прямо как возможных значений параметра n), и на каждом по два ответа.
Но хватит о вечном, нам корни отобрать нужно. Снова внимание на картинку – сколько теперь точек, которые лежат в указанном (выделенном на рисунке) интервале? Начнем опять с -π/2 – с начала интервала и будем идти в сторону увеличения угла – против часовой стрелки. Подходят углы -π/2, -π/3, π/3, π/2. Движемся по интервалу дальше. Следующий подходящий корень расположен уже на другом витке – 3π/2. Далее 5π/3, 7π/3, 5π/2. Дальше до конца интервала корней нет, а в точке 3π и интервал заканчивается. Итак, выпишем получившиеся корни:
−π
2
;
− π
3
; π
3
; π
2
;
3
π
2
;
5
π
3
;
7
π
3
;
5
π
2
.
Ровно 8 корней лежат в указанном интервале. Конечно, на ЕГЭ вряд ли попадется такой длинный интервал, скорее всего он будет меньше 2π. Соответственно и ответов обычно от двух до четырех.
Это все, что пригодится знать, уметь, а главное понимать на ЕГЭ. Надеюсь, эти 18 страниц тригонометрии смогут перевернуть вашу жизнь и нацелить на технический вуз! Но даже если этого не произойдет, я рад, что смог поделиться математикой и помочь в ней разобраться. Это действительно интересная и наглядная наука (не упускаю возможности
прорекламировать рисунки и картинки), которая замаскирована сложными и абстрактными правилами, формулами и законами. Всевозможных удач на экзамене! И да, третья статья как никак: задачи в удвоенном объеме!
Задачи
• а) Решите уравнение: (2sin(x)−1)(

−cos(x)+1)=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, лежащие в интервале
[− π
2
;
π].
• а) Решите уравнение: 1−sin(2 x)=−(cos(x)+sin(x)).
б) Найдите все корни этого уравнения, лежащие в интервале
[−
3
π
2
; π
3
].
• a) Решите уравнение: 2sin
4
(x )+3 cos(2 x )+1=0.
б) Найдите все решения этого уравнения, принадлежащие интервалу
[0 ;π].
• а) Решите уравнение:

2 sin
(
3
π
2
x)⋅sin(x)=cos(x ).
б) Найдите все решения этого уравнения, которые лежат в интервале
[−5 π;−4 π].
• a) Решите уравнение:

(cos
2
(x)−sin
2
(x ))⋅(tg(2 x )−1)=0.
б) Найдите все решения этого уравнения, лежащие в интервале
[ π
12
;
11
π
12
].
• а) Решите уравнение:
sin
(2 x)
cos
( π
2
+x)
=

3.
б) Найдите все решения этого уравнения, принадлежащие отрезку
[−
5
π
2
;
−π].
• a) Решите уравнение: sin(2 x)−2

3 cos
2
(x)−4 sin(x )+4

3 cos
(x)=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу
[5 π ;
25
π
4
].
• а) Решите уравнение:

2 sin
3
(x )−

2 sin
(x )+cos
2
(x )=0.
б) Найдите все решения этого уравнения, лежащие в интервале
( π
4
; 3
π).
• а) Решите уравнение:
ctg
(x )+cos ( π
2 +
2 x
)=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, лежащие на отрезке
[−
3
π
2
;
2
π
161
].
• а) Решите уравнение:

sin
(x)cos(x)⋅(
1
tg
(2 x)
+1)=0.
б) Найдите все решения этого уравнения, лежащие в интервале
;
5
π
2
].
• а) Решите уравнение:
cos
(2 x)+

cos
(x )+1
tg
(x)−1
=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, лежащие в интервале
[− π
2
; π
2
].
• а) Решите уравнение: 3sin
2
(x)+5sin(x)+3=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, лежащие в интервале
[ π
2
; 2
π].
© All Rights Reserved, Rene Dekart – Artem Vysogorets
Copyright, 2015