Главная страница

Показательные уравнения и неравенства. Задача Решить уравнение 8 x 2 32 1 x


Скачать 205.44 Kb.
НазваниеЗадача Решить уравнение 8 x 2 32 1 x
АнкорПоказательные уравнения и неравенства.pdf
Дата12.02.2018
Размер205.44 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаPokazatelnye_uravnenia_i_neravenstva.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипЗадача
#64030
Каталогid4037911

С этим файлом связано 30 файл(ов). Среди них: Zadanie_MA10_07022018_baza.pdf, Zadanie_MA10_07022018_profil.pdf, Pokazatelnye_uravnenia_i_neravenstva.pdf, Probnik_2_variant.pdf, Pokazatelnye_uravnenia_i_neravenstva_Trenirov.pdf, Minimaxnye_zadachi_2.pdf, Metod_ratsionalizatsii.pdf, Metod_intervalov_Trenirovochnye_zadachi.pdf, teoria_veroyatnostey.pdf, trigonometria_zadania.pdf и ещё 20 файл(а).
Показать все связанные файлы

И. В. Яковлев
|
Материалы по математике
|
MathUs.ru
Показательные уравнения и неравенства
Показательные уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых пере- менная величина входит в аргумент показательных функций. В настоящей статье мы изучим основные приёмы решения показательных уравнений и неравенств.
Начнём со следующего простого вопроса. Уравнение 3
x
= 9 имеет очевидный корень x = 2.

Имеются ли у этого уравнения другие корни?
Легко понять, что других корней нет, поскольку функция y = 3
x является монотонно воз- растающей. Каждое своё значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, если отметить на оси ординат точку y = 9, то ей будет соответствовать единственная точка x = 3
на оси абсцисс (рис.
1
).
X
Y
y = 3
x
9 2
4
log
3 4
Рис. 1. Корни уравнений 3
x
= 9 и 3
x
= 4
На рисунке показан также единственный корень уравнения 3
x
= 4. Он уже не выражается целым числом и равен log
3 4.
Вообще, рассмотрим простейшее показательное уравнение a
x
= b
(1)
при a > 0 и a = 1. Показательная функция y = a x
монотонна и принимает только положитель- ные значения. Поэтому:
• при любом b > 0 уравнение (
1
) имеет единственный корень x = log a
b;
• при b
0 уравнение (
1
) не имеет корней.
1

Показательные уравнения
При решении показательных уравнений мы постоянно пользуемся упомянутыми выше свой- ствами показательной функции: она монотонна и принимает только положительные значения.
Задача 1. Решить уравнение: 8
x+2
= 32 1−x
Решение. Заметим, что 8 = 2 3
и 32 = 2 5
:
2 3 x+2
= 2 5 1−x
,
то есть
2 3(x+2)
= 2 5(1−x)
Поскольку функция y = 2
x монотонно возрастает, равенство 2
a
= 2
b эквивалентно равенству a = b. Следовательно,
3(x + 2) = 5(1 − x),
откуда x = −1/8.
Ответ: −
1 8
Задача 2. Решить уравнение: 3
x+1
+ 3
x
− 3
x−2
= 35.
Решение. Метод решения уравнений такого вида — вынести за скобки степень с наименьшим показателем. В данном случае выносим за скобки 3
x−2
:
3
x−2
(3 3
+ 3 2
− 1) = 35

3
x−2
· 35 = 35

3
x−2
= 1.
Последнее равенство запишем как 3
x−2
= 3 0
и ввиду монотонности показательной функции заключаем, что x − 2 = 0, то есть x = 2.
Ответ: 2.
Задача 3. Решить уравнение: 4
x
− 2
x+1
− 8 = 0.
Решение. Перепишем уравнение следующим образом:
2 2x
− 2 · 2
x
− 8 = 0.
Вводя замену t = 2
x
, получим квадратное уравнение относительно t:
t
2
− 2t − 8 = 0.
Находим его корни: t
1
= 4, t
2
= −2. Остаётся сделать обратную замену.
Уравнение 2
x
= 4 имеет единственный корень x = 2. Уравнение 2
x
= −2 корней не имеет,
так как показательная функция y = 2
x не может принимать отрицательных значений.
Ответ: 2.
Задача 4. Решить уравнение: 2 · 4
x
+ 6 · 9
x
= 7 · 6
x
Решение. Подставим в уравнение 4 = 2 2
, 9 = 3 2
и 6 = 2 · 3:
2 · 2 2x
− 7 · 2
x
· 3
x
+ 6 · 3 2x
= 0.
Поделим обе части уравнения на величину 3 2x
, которая ни при каких x не обращается в нуль. В результате получим равносильное уравнение:
2 ·
2 3
2x
− 7 ·
2 3
x
+ 6 = 0.
2

Дальше действуем так же, как в предыдущей задаче. Замена t =
2 3
x приводит к квадрат- ному уравнению:
2t
2
− 7t + 6 = 0.
Его корни равны 2 и 3/2. Обратная замена:




2 3
x
= 2,
2 3
x
=
3 2

x = log
2 3
2,
x = −1.
Ответ: log
2 3
2, −1.
Задача 5. Решить уравнение: 2 +

3
x
+ 2 −

3
x
= 4.
Решение. Заметим, что
2 +

3
x
2 −

3
x
=
2 2


3 2
x
= 1
x
= 1.
Поэтому делаем замену t =
2 +

3
x и получаем:
t +
1
t
= 4.
Приходим к квадратному уравнению t
2
− 4t + 1 = 0 с корнями 2 ±

3. Обратная замена:


2 +

3
x
= 2 +

3,
2 +

3
x
= 2 −

3

x = 1,
x = −1.
Ответ: ±1.
Показательные неравенства
При решении показательных неравенств мы постоянно пользуемся следующим известным вам фактом: показательная функция y = a x
является монотонно возрастающей при a > 1 и монотонно убывающей при 0 < a < 1.
Задача 6. Решить неравенство: 4
x
< 0,125.
Решение. Заметим, что 4 = 2 2
и 0,125 = 1/8 = 2
−3
. Неравенство примет вид:
2 2x
< 2
−3
Функция y = 2
x монотонно возрастает, поэтому неравенство 2
a
< 2
b эквивалентно неравен- ству a < b. Таким образом, основание степени отбрасывается без изменения знака неравенства:
2x < −3,
откуда x < −3/2.
Ответ:
−∞; −
3 2
3

Задача 7. Решить неравенство:
2 3
x
2
−5x+10 16 81
Решение. Неравенство переписывается в виде:
2 3
x
2
−5x+10 2
3 4
Функция y =
2 3
x монотонно убывает, поэтому неравенство
2 3
a
2 3
b эквивалентно нера- венству a b. Основание степени отбрасывается с изменением знака неравенства:
x
2
− 5x + 10 6

x
2
− 5x + 6 0

2
x
3.
Ответ: [2; 3].
Задача 8. Решить неравенство: 4
x
− 10 · 2
x
+ 16 > 0.
Решение. Делая замену t = 2
x
, приходим к квадратному неравенству относительно t:
t
2
− 10t + 16 > 0.
Его решения: t > 8 или t < 2. Обратная замена:
2
x
> 8,
2
x
< 2

x > 3,
x < 1.
Ответ: (−∞; 1) ∪ (3; +∞).
Задача 9. Решить неравенство: 5 2x+1 5
x
+ 4.
Решение. Перепишем неравенство в виде:
5 · 5 2x
− 5
x
− 4 0
и сделаем замену t = 5
x
:
5t
2
− t − 4 0.
Решения полученного квадратного неравенства: −
4 5
t
1. Обратная замена:



5
x

4 5
,
5
x
1.
Первое неравенство системы выполнено при всех значениях x (поскольку функция y = 5
x принимает только положительные значения). Решения второго неравенства системы — множе- ство x
0.
Ответ: (−∞; 0].
Задача 10. Решить неравенство: 2
x
+ 2 1−x
− 3 > 0.
Решение. Замена t = 2
x приводит неравенство к виду:
t +
2
t
− 3 > 0

t
2
− 3t + 2
t
> 0.
4

Теперь заметим, что t > 0 (так как величина 2
x положительна при всех x). Поэтому полу- ченное неравенство равносильно неравенству t
2
− 3t + 2 > 0.
Его решения: t < 1 или t > 2. Обратная замена даёт x < 0 или x > 1.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (1; +∞).
Задача 11. Решить неравенство: 4
x
+ 2 · 5 2x
< 10
x
Решение. Имеем:
2 · 5 2x
− 2
x
· 5
x
− 2 2x
> 0.
Разделим обе части неравенства на положительную величину 2 2x
. Получим равносильное неравенство
5 2
2x

5 2
x
− 2 > 0.
Делаем замену t =
5 2
x
:
t
2
− t − 2 > 0.
Решения полученного квадратного неравенства: t < −1 или t > 2. Обратная замена:




5 2
x
< −1,
5 2
x
> 2.
Первое неравенство совокупности не имеет решений. Решения второго неравенства — мно- жество x > log
5 2
2.
Ответ: (log
5 2
2; +∞).
Задача 12. Решить неравенство:
1 3
x
+ 5
<
1 3
x+1
− 1
Решение. Замена t = 3
x
:
1
t + 5
<
1 3t − 1
Дальше действуем стандартным образом:
1
t + 5

1 3t − 1
< 0

2(t − 3)
(t + 5)(3t − 1)
< 0.
Полученное неравенство решается методом интервалов: t < −5 или
1 3
< t < 3. Обратная замена:


3
x
< −5,
1 3
< 3
x
< 3.
Первое неравенство совокупности решений не имеет, а решениями второго неравенства слу- жит интервал −1 < x < 1.
Ответ: (−1; 1).
5

перейти в каталог файлов
связь с админом